maximales Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Di 13.07.2010 | | Autor: | physicus |
HI!
Ich schau mir gerade den Beweis an, dass jeder Ring $ R [mm] \not= [/mm] 0 $ (mit 1) ein maximales Ideal hat. Dafür braucht man ja Zorn.
Bei mir lautet der Satz: R ein Ring mit 1 und sie $ [mm] \alpha [/mm] $ ein echtes Ideal in R, dann gibt es ein maximales Ideal $ [mm] \alpha \subset \gamma [/mm] $.
Meine Frage ist: Ich schau mir ja die Menge $ F = [mm] \{\beta \subset R | \beta \not= R, \alpha \subset \beta\} [/mm] $ und all die $ [mm] \beta [/mm] $'s sind natürlich Ideale in R. Wenn ich jetzt eine totalgeordnete Untermenge $ A $ von $ F $ nehme, muss ich ja zeigen dass diese eine obere Schranke in $ F $ besitzt. Die Behauptung ist ja, dass $ [mm] \bigcup_{\beta \in A} \beta [/mm] $ so eine obere Schranke ist. Aber: Ich dachte, dass die Vereinigung von Idealen nicht zwangsläufig wieder ein Ideal ist. Hier sagt man aber, dass diese Vereinigung ein Ideal ist, wieso ist das der Fall? Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 13.07.2010 | | Autor: | andreas |
hi.
> Aber: Ich dachte, dass die
> Vereinigung von Idealen nicht zwangsläufig wieder ein
> Ideal ist.
genau. die vereinigung von (zwei) idealen ist genau dann ein ideal, wenn diese ideale ineinader enthalten sind. überlege dir mal, wie du das beweisen kannst (bei der multiplikation mit ringelementen sollten gar keine probleme auftreten, bei der addition zweier elemente der vereinigung musst du dir überlegen, wie du die voraussetzung gewinnbringend einsetzen kannst) und wie du dies auf die hier gegeben situation verallgemeinern kannst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Mi 14.07.2010 | | Autor: | physicus |
> hi.
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> > Aber: Ich dachte, dass die
> > Vereinigung von Idealen nicht zwangsläufig wieder ein
> > Ideal ist.
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> genau. die vereinigung von (zwei) idealen ist genau dann
> ein ideal, wenn diese ideale ineinader enthalten sind.
> überlege dir mal, wie du das beweisen kannst (bei der
> multiplikation mit ringelementen sollten gar keine probleme
> auftreten, bei der addition zweier elemente der vereinigung
> musst du dir überlegen, wie du die voraussetzung
> gewinnbringend einsetzen kannst) und wie du dies auf die
> hier gegeben situation verallgemeinern kannst.
>
> grüße
> andreas
Ich bin ja nur an der Rückrichtung interessiert:
Seien also [mm] \alpha \subset R [/mm] und [mm] \beta \subset R [/mm] zwei Ideale, so dass [mm] \alpha \subset \beta [/mm]. Wenn ich zeigen kann, dass [mm] \gamma := \alpha \cup \beta[/mm] ein Ideal ist, dann kann ich mittels Induktion schon einmal alle endlichen Fälle abhacken. Die Multiplikation mit einem Element aus R ist ja klar. Sei [mm] c \in \gamma [/mm]: [mm] r \in R [/mm] dann gilt [mm] cr \in \gamma [/mm] da $c $ entweder zu $ [mm] \alpha$ [/mm] oder zu $ [mm] \beta [/mm] $ gehört. Ich muss also nur noch zeigen, dass $ [mm] (\gamma, [/mm] +) $ eine Untergruppe von $ (R,+) $ ist. Nun gut seien $ a,b [mm] \in \gamma$ [/mm] da $ [mm] \alpha \subset \beta [/mm] $ liegen beide in [mm] $\beta$ [/mm] also auch deren Inverse. Da $ [mm] (\beta, [/mm] +)$ eine Untegruppe von $(R,+)$ ist, folgt dass auch $ [mm] (\gamma, [/mm] +)$ eine Untergruppe von $ (R,+)$ ist. Aber wie erweitere ich dies auf einen beliebigen Fall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Mi 14.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > > Aber: Ich dachte, dass die
> > > Vereinigung von Idealen nicht zwangsläufig wieder ein
> > > Ideal ist.
> >
> > genau. die vereinigung von (zwei) idealen ist genau dann
> > ein ideal, wenn diese ideale ineinader enthalten sind.
> > überlege dir mal, wie du das beweisen kannst (bei der
> > multiplikation mit ringelementen sollten gar keine probleme
> > auftreten, bei der addition zweier elemente der vereinigung
> > musst du dir überlegen, wie du die voraussetzung
> > gewinnbringend einsetzen kannst) und wie du dies auf die
> > hier gegeben situation verallgemeinern kannst.
> >
> > grüße
> > andreas
>
> Ich bin ja nur an der Rückrichtung interessiert:
>
> Seien also [mm]\alpha \subset R[/mm] und [mm]\beta \subset R[/mm] zwei
> Ideale, so dass [mm]\alpha \subset \beta [/mm]. Wenn ich zeigen
> kann, dass [mm]\gamma := \alpha \cup \beta[/mm] ein Ideal ist, dann
> kann ich mittels Induktion schon einmal alle endlichen
> Fälle abhacken. Die Multiplikation mit einem Element aus R
> ist ja klar. Sei [mm]c \in \gamma [/mm]: [mm]r \in R[/mm] dann gilt [mm]cr \in \gamma[/mm]
> da [mm]c[/mm] entweder zu [mm]\alpha[/mm] oder zu [mm]\beta[/mm] gehört.
'entweder - oder' ist hier falsch. Aber warum so umständlich. Unter der gegebenen Annahme ist [mm] \alpha \cup \beta [/mm] = [mm] \beta.
[/mm]
> Ich muss
> also nur noch zeigen, dass [mm](\gamma, +)[/mm] eine Untergruppe von
> [mm](R,+)[/mm] ist. Nun gut seien [mm]a,b \in \gamma[/mm] da [mm]\alpha \subset \beta[/mm]
> liegen beide in [mm]\beta[/mm] also auch deren Inverse. Da [mm](\beta, +)[/mm]
> eine Untegruppe von [mm](R,+)[/mm] ist, folgt dass auch [mm](\gamma, +)[/mm]
> eine Untergruppe von [mm](R,+)[/mm] ist. Aber wie erweitere ich dies
> auf einen beliebigen Fall?
Wenn 2 Elemente in der (unendlichen) Vereinigung liegen, liegt jedes in einem der einzelnen Ideale, also liegen beide in dem 'größeren' der beiden Ideale.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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