maximales Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sind in folgendem Satz alle Voraussetzungen notwendig:
Sei R ein kommutativer Ring mit 1.
Ein Ideal m ist genau dann maximal, wenn R/m ein Körper ist. |
Hallo,
für den Beweis hierzu verwendet man, dass es eine Bijektion zwischen {Ideale von R/m} und {b|b Ideal von R mit [mm] m\subseteq b\subseteq R\} [/mm] gibt.
Dann sieht der Beweis so aus: m maximal [mm] \Leftrightarrow\mbox{\{b|b Ideal von R mit} m\subseteq b\subseteq R\} [/mm] besitzt zwei Ideale [mm] \Leftrightarrow\mbox{R/m} [/mm] besitzt nur zwei Ideale [mm] \Leftrightarrow\mbox{R/m} [/mm] ist Körper.
Jetzt die Frage: Braucht man die Kommutativität von R und die Eigenschaft, dass R eine 1 besitzt oder gilt der Satz für jeden beliebigen Ring? Ich hab mir das mal so begründet: Ist m maximal, dann gilt für jedes [mm] a\in [/mm] R-m:ggT(a,m)=1, demnach [mm] 1=r\cdot [/mm] a+m' für ein [mm] r\in [/mm] R und [mm] m'\in [/mm] m, also ist in dem Fall, dass R ein maximales Ideal hat die 1 sowieso in R. Für die Rückrichtung R/m Körper [mm] \Rightarrowm [/mm] maximal wird auch nirgends gebraucht, dass R eine 1 hat. Also denke ich, dass man darauf schonmal verzichten kann.
Wie ist es aber mit der Kommutativität? Wenn R/m nur 2 Ideale besitzt, dann sind das ja (0) und R selbst, aber ist R/m damit dann auch kommutativ? Wenn es ein Körper sein soll, muss es das ja, aber ich sehe nicht warum das der Fall sein sollte, wenn R nocht kommutativ ist.
Für die Rückrichtung R/m Körper [mm] \Rightarrow [/mm] m maximal braucht man die Kommutativität von R nicht.Ich gehe mal davon aus, dass man auf beide Voraussetzungen verzichten kann, nur für die Richtung m [mm] maximal\Rightarrow [/mm] R/m Körper sehe ich nicht wie ohne die Kommutativität von R folgen soll, dass aus R/m besitzt nur 2 Ideale folgen kann, dass R/m automatisch ein Körper ist?
In einem Buch ist der selbe Satz für beliebige Ringe angegeben, allerdings ist der Beweis analog zu meinem und auf die Kommutativität wird garnicht eingegangen. Wahrscheinlich ist das also trivial und trotzdem sehe ich es nicht. Kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> Sind in folgendem Satz alle Voraussetzungen notwendig:
>
> Sei R ein kommutativer Ring mit 1.
>
> Ein Ideal m ist genau dann maximal, wenn R/m ein Körper
> ist.
>
> für den Beweis hierzu verwendet man, dass es eine
> Bijektion zwischen {Ideale von R/m} und {b|b Ideal von R
> mit [mm]m\subseteq b\subseteq R\}[/mm] gibt.
>
> Dann sieht der Beweis so aus: m maximal
> [mm]\Leftrightarrow\mbox{\{b|b Ideal von R mit} m\subseteq b\subseteq R\}[/mm]
> besitzt zwei Ideale [mm]\Leftrightarrow\mbox{R/m}[/mm] besitzt nur
> zwei Ideale [mm]\Leftrightarrow\mbox{R/m}[/mm] ist Körper.
Du solltest nicht "besitzt zwei Ideae" oder "besitzt nur zwei Ideale" schreiben, sondern "besitzt genau zwei Ideale". Das ist wesentlich praeziser und korrekt.
> Jetzt die Frage: Braucht man die Kommutativität von R und
> die Eigenschaft, dass R eine 1 besitzt oder gilt der Satz
> für jeden beliebigen Ring?
Du brauchst beides.
Wenn $R$ nicht kommutativ ist, schau den Ring der $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen ueber einem Koerper $K$ an (mit $n > 1$). Dieser Ring hat genau zwei (beidseitige) Ideale, ist jedoch kein Koerper.
Wenn $R$ keine Eins hat, muss $R/I$ nicht umbedingt eine Eins haben, auch wenn $I$ ein maximales Ideal ist. Ein Koerper hat aber eine Eins. Sei $R = 2 [mm] \IZ$ [/mm] und $I = 4 [mm] \IZ$. [/mm] Dann ist $I$ ein maximales Ideal in $R$, und $R / I$ ist ein nicht-trivialer Nilring: egal welche Elemente du multiplizierst, es kommt immer 0 raus, jeoch hat der Ring zwei Elemente. Damit kann er keine Eins haben.
> Ich hab mir das mal so
> begründet: Ist m maximal, dann gilt für jedes [mm]a\in[/mm]
> R-m:ggT(a,m)=1, demnach [mm]1=r\cdot[/mm] a+m' für ein [mm]r\in[/mm] R und
> [mm]m'\in[/mm] m, also ist in dem Fall, dass R ein maximales Ideal
> hat die 1 sowieso in R.
Falls $R$ eine Eins hat.
> Für die Rückrichtung R/m Körper
> [mm]\Rightarrowm[/mm] maximal wird auch nirgends gebraucht, dass R
> eine 1 hat. Also denke ich, dass man darauf schonmal
> verzichten kann.
Da wird es auch nicht gebraucht.
> Wie ist es aber mit der Kommutativität? Wenn R/m nur 2
> Ideale besitzt, dann sind das ja (0) und R selbst, aber ist
> R/m damit dann auch kommutativ? Wenn es ein Körper sein
> soll, muss es das ja, aber ich sehe nicht warum das der
> Fall sein sollte, wenn R nocht kommutativ ist.
Siehe oben fuer ein Gegenbeispiel.
Du brauchst ganz wichtig, dass fuer eine Nichteinheit $a$ das Ideal $(a)$ nicht ganz $R$ ist. (Damit du zeigen kannst, dass inverse Elemente existieren.) Das muss in nicht-kommutativen Ringen nicht gelten.
> Für die Rückrichtung R/m Körper [mm]\Rightarrow[/mm] m maximal
> braucht man die Kommutativität von R nicht.
Diese Richtung gilt allgemein, egal ob $R$ kommutativ ist oder eine Eins hat.
> Ich gehe mal davon aus, dass man auf beide Voraussetzungen verzichten
> kann, nur für die Richtung m [mm]maximal\Rightarrow[/mm] R/m
> Körper sehe ich nicht wie ohne die Kommutativität von R
> folgen soll, dass aus R/m besitzt nur 2 Ideale folgen kann,
> dass R/m automatisch ein Körper ist?
>
> In einem Buch ist der selbe Satz für beliebige Ringe
> angegeben, allerdings ist der Beweis analog zu meinem und
> auf die Kommutativität wird garnicht eingegangen.
Dann ist der Beweis offenbar falsch. [mm] $K^{2 \times 2}$ [/mm] ist ein einfaches Gegenbeispiel.
LG Felix
|
|
|
|
