maximales Volumen berechnen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 28.01.2006 | | Autor: | drummy |
| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie die Vermutung Keplers, dass zwei in der Form unterschieliche Fässer bei gleicher Visierlänge s verschiedene Volumina haben können. Zur Vereinfachung dachte sich Kepler ein Fass aus zwei Kegelstümpfen zusammengesetzt. Es sei d1 der kleinste und d2 der größte Durchmesser eines Fasses.
Für zwei verschiedene Fässer gelte:
Fass 1: d1= 40 cm; d2= 60 cm
Fass 2: d1= 20 cm; d2= 40 cm
Für beide Fässer betrage die Visierlänge s= 60 cm.
a) Skizzieren Sie einen Querschnitt eines solchen Fasses mit Visierlänge s.
b) Bestimmen Sie für jedes Fass die halbe Fasshöhe und berechnen Sie so die beiden Fassinhalte.
Wie man an den Ergebnissen von Aufgabe 3 erkennt, können verschieden geformte Fässer bei gleicher Visierlänge s deutlich unterschiedliche Volumina haben. Gibt es unter allen Fässern mit konstantem s eine Form mit maximalem Volumen? |
| Aufgabe 2 | Wir denken uns zur Vereinfachung ein Fass in Zylinderform gegeben. Bei konstanter Visierlänge s ist das Verhältnis von Fasshöhe h und Grundkreisdurchmesser d so zu bestimmen, dass der Fassinhalt maximal wird.
Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Fassinhalt durch die Näherungsformel V [mm] \approx 0,6\*s^{3} [/mm] bestimmt werden kann. |
Hallo,
die Aufgaben a) und b) habe ich gelöst. Ich finde allerdings nicht den richtigen Ansatz um das maximale Volumen auszurechnen.
Ich muss doch hier mit der ersten Ableitung arbeiten, oder?
Aber wie soll ich den Ansatz wählen?
Bei der zweiten Aufgabe habe ich das selbe Problem. Ich finde auch hier keinen sinnvollen Ansatz.
Es wäre super, wenn mir jemand beim Ansatz hilft.
Gruß drummy
|
|
| |
|
Guten Morgen!
Man hab ich lange gebraucht um herauszufinden was die Visierlänge ist... unter ![[]](/images/popup.gif) http://www.keplerraum.at/fass.html findest du weiter Informationen, falls es dich interessiert.
Zu deiner Frage:
Ja, du hast recht. Du musst mit der Ableitung arbeiten. Vorher musst du dir festlegen, was eigentlich maximal werden soll. (Volumen, oder Querschnittsfläche - gibt ja viel Möglichkeiten.) Diese Größe darf aber nur mit den Variablen gebildet werden, die gegeben sind. Also d1, d2 und s. Da du ja die Abhängigkeit bei konstanten s erhalten willst, machst du einer der anderen beiden Variablen variabel. Nach dieser leitest du also ab und setzt die Ableitung auf Null. Nun musst du noch auch Maximum überprüfen.
Jetzt müsstest du einen Radius raus haben in Abhängigkeit vom anderen.
Soweit dazu. Für die Zylinderaufgabe gehst du praktisch genauso vor.
Schönes Wochenende noch,
Roland.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:20 So 29.01.2006 | | Autor: | drummy |
Da ich ja das maximale Volumen ausrechnen will, muss ich ja die Formel für das Volumen von einem Kegelstumpf benutzen. Also:
V= [mm] \bruch{1}{3}\pi*(s^2-(d2-1)^2)*(r1^2+r2^2+r1*r2)
[/mm]
Davon die Ableitung gleich null setzen. Aber dann hab ich doch 2 Variablen d1 und d2.
Es wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte | | Datum: | 17:42 Mo 30.01.2006 | | Autor: | drummy |
| Aufgabe | Wir denken uns zur Vereinfachung ein Fass in Zylinderform gegeben. Bei konstanter Visierlänge s ist das Verhältnis von Fasshöhe h und Grundkreisdurchmesser d so zu bestimmen, dass der Fassinhalt maximal wird.
Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Fassinhalt durch die Näherungsformel [mm] V\approx 0,6*s^3 [/mm] bestimmt werden kann. |
Hallo,
ich habe versucht die Aufgabe so zu lösen:
Volumen von Zylinder: V(d,h)= [mm] r^2*\pi*h=\bruch{d^2}{4}*\pi*h
[/mm]
für [mm] d^2=s^2-\bruch{h^2}{4} [/mm] eingesetzt
Die Ableitung davon: [mm] \bruch{8s-2h}{16}
[/mm]
Das gleich null gesetzt. Dann hab ich 1s=0,25h rausgefunden.
Das stimmt aber nicht mit der Aufgabe: [mm] V\approx 0,6*s^3 [/mm] überein.
Es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gruß drummy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mo 30.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo drummy!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit, deine Frage beantworten. Nun muss ich sie für Interessierte markieren.
Falls ich die Fälligkeit verlängern sollte, schreibe bitte eine private Nachricht an mich!
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
PStefan
|
|
|
|
