maximales ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mo 10.05.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | | zeigen sie, dass es maximale ideale [mm] m\subseteq\IR[X_1,...,X_n] [/mm] gibt, für die nicht [mm] \IR[X_1,...,X_n]/m\cong\IR [/mm] gilt. |
ich suche also einfach ein ideal für das [mm] \IR[X_1,...,X_n]/m\cong [/mm] k gilt mit k körper und [mm] k\not=\IR
[/mm]
da sollte man ja eigentlich einfach die erzeuger von m hinschreiben können. ich komme aber einfach nicht drauf, wie ich die konstruieren muss und was für k überhaupt in frage kommt ....
wäre über tipps sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zeigen sie, dass es maximale ideale
> [mm]m\subseteq\IR[X_1,...,X_n][/mm] gibt, für die nicht
> [mm]\IR[X_1,...,X_n]/m\cong\IR[/mm] gilt.
> ich suche also einfach ein ideal für das
> [mm]\IR[X_1,...,X_n]/m\cong[/mm] k gilt mit k körper und [mm]k\not=\IR[/mm]
> da sollte man ja eigentlich einfach die erzeuger von m
> hinschreiben können. ich komme aber einfach nicht drauf,
> wie ich die konstruieren muss und was für k überhaupt in
> frage kommt ....
> wäre über tipps sehr dankbar.
Ein Tipp: wenn du die Abbildung [mm] $\IR \to \IR[X_1, \dots, X_n] \to \IR[X_1, \dots, X_n] [/mm] / m$ anschaust, so siehst du, dass $k := [mm] \IR[X_1, \dots, X_n] [/mm] / m$ eine Koerpererweiterung von [mm] $\IR$ [/mm] ist. Wieviele (algebraische!) Koerpererweiterungen von [mm] $\IR$ [/mm] kennst du?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 10.05.2010 | | Autor: | clee |
an algebraischen körpererweiterungen fällt mir da spontan nur [mm] \IR\subset\IC [/mm] ein.
könntest du kurz nochmal ein wort dazu verlieren warum man aus der abbildung sieht, dass $k := [mm] \IR[X_1, \dots, X_n] [/mm] / m$ eine Koerpererweiterung von [mm] $\IR$ [/mm] ist?
läuft die aufgabe darauf hinnaus $m$ so zu wählen, dass ich am ende [mm] \IR[i]\cong\IC [/mm] dastehen hab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> an algebraischen körpererweiterungen fällt mir da spontan
> nur [mm]\IR\subset\IC[/mm] ein.
>
> könntest du kurz nochmal ein wort dazu verlieren warum man
> aus der abbildung sieht, dass [mm]k := \IR[X_1, \dots, X_n] / m[/mm]
> eine Koerpererweiterung von [mm]\IR[/mm] ist?
Nun, die Abbildung [mm] $\pi [/mm] : [mm] \IR \to \IR[X_1, \dots, X_n] \to \IR[X_1, \dots, X_n]/m [/mm] = k$ ist ein Ringhomomorphismus. Da [mm] $\IR$ [/mm] ein Koerper ist, ist sie somit entweder injektiv oder die Nullabbildung. Da jedoch $k$ ein Koerper ist (mit $1 [mm] \neq [/mm] 0$) und somit dieser Homomorphismus nicht die Nullabbildung sein kann, muss er injektiv sein. Damit ist [mm] $\pi(\IR) \subseteq [/mm] k$ isomorph zu [mm] $\IR$, [/mm] womit $k$ einen zu [mm] $\IR$ [/mm] isomorphen Teilkoerper hat. Damit kann man $k$ als Koerpererweiterung von [mm] $\IR$ [/mm] auffassen.
> läuft die aufgabe darauf hinnaus [mm]m[/mm] so zu wählen, dass ich
> am ende [mm]\IR[i]\cong\IC[/mm] dastehen hab? [/i][/mm]
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mo 10.05.2010 | | Autor: | clee |
vielen dank für die erklärung 
dann ist die aufgabe ja doch einfacher als ich dachte ... also einfach
[mm] \IR[X_1, \dots, X_n]/(X_1^2+1,X_2-a_2,...,X_n-a_n)\cong\IR[X_1]/(X_1^2+1)\cong\IC
[/mm]
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