mechanische Schwingungen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 So 30.12.2012 | | Autor: | lunaris |
| Aufgabe | Ein harmonisch schwingender Körper vollendet in 14 s neun Schwingungen. Die Zeitrechnungsoll dann beginnen, wenn er gerade die Nulllage in Richtung der positiven y-Achse durchläuft. Der Abstand der Umkehrpunkte beträgt 7,0 cm.
a ) Berechnen Sie die auslenkung des Körpers nach 0,18 s. |
Mein Gedankengang :
A ist die Häflte des Abstandes der Umkehrpunkte = 3,5 cm
1 Schwingung dauert 14 / 9 s
also
Y = 3,5 cm sin ( 2 Kreiszahl Pi 14/9 * t )
Leider bekomme ich so de angegebene Lösung von 2,3 cm nicht heraus.
Wo liegt der Fehler ?
Bitte , bitte mit Erklärung.
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Hallo lunaris,
die Schwingungsgleichung ist
[mm] $y(t)=A*\sin(\omega t)=A*\sin(2\pi [/mm] f t)$
Die Frequenz f ist [mm] f=\frac{1}{T}=\frac{9}{14}s^{-1}.
[/mm]
Also [mm] y(t)=3.5cm*\sin(2\pi\frac{9}{14}s^{-1}*t)=3.5cm*\sin(\frac{18\pi}{14}s^{-1}*t)
[/mm]
Somit erhält man $y(0.18s)=2.326cm$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 So 30.12.2012 | | Autor: | lunaris |
Vielen Dank !
Dann muss ich beim Taschenrechner was anders einstellen, bekomm nämlich bei dieser Gleichung 0,04 raus......
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 So 30.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank !
> Dann muss ich beim Taschenrechner was anders einstellen,
> bekomm nämlich bei dieser Gleichung 0,04 raus......
Kann es sein, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) statt Bogenmaß (RAD) steht?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 30.12.2012 | | Autor: | lunaris |
| Aufgabe | b, Berechnen sie den Zeitpunkt , bei dem zum ersten Mal die Elongation s(t) = - 3,5 besitzt.
c ) Berechnen Sie den Zeitpunkt , bei dem die Elongation zum ersten Mal s = -2,0 cm ist.
d ) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, bei dem der Körper zum zweiten Mal die Auslenkung s = 1,4 cm besitzt. |
Erst mal vielen Dank, ja das war der Fehler ! ( Meine Kinder haben mir gezeigt, wie ich den Taschenrechner umstelle )
zu b ) t = 1.2 s
stimmt laut angegebener Lösung
zu c ) Ansatz :
- 2 cm = 3,5 cm sin Kreiszahl Pi 9/7 s^-^1 t )
- 4/7 = sin "
Jetzt sin^-^1
Wie geht es jetzt weiter, bei b ) hat sich Kreiszahl Pi rausgekürzt. und wie ist die korrekte mathematische Schreibweise ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 30.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] $f(t)=3,5\cdot\sin\left(2\cdot\pi\cdot\frac{14}{9}\cdot t\right)$
[/mm]
> b, Berechnen sie den Zeitpunkt , bei dem zum ersten Mal die
> Elongation s(t) = - 3,5 besitzt.
>
> c ) Berechnen Sie den Zeitpunkt , bei dem die Elongation
> zum ersten Mal s = -2,0 cm ist.
>
> d ) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, bei dem der Körper zum
> zweiten Mal die Auslenkung s = 1,4 cm besitzt.
> Erst mal vielen Dank, ja das war der Fehler ! ( Meine
> Kinder haben mir gezeigt, wie ich den Taschenrechner
> umstelle )
>
> zu b ) t = 1.2 s
> stimmt laut angegebener Lösung
>
> zu c ) Ansatz :
> - 2 cm = 3,5 cm sin Kreiszahl Pi 9/7 s^-^1
> t )
> - 4/7 = sin "
>
> Jetzt sin^-^1
>
> Wie geht es jetzt weiter, bei b ) hat sich Kreiszahl Pi
> rausgekürzt. und wie ist die korrekte mathematische
> Schreibweise ?
[mm] $-2=3,5\cdot\sin\left(2\cdot\pi\cdot\frac{14}{9}\cdot t\right)$
[/mm]
Beide Seiten :3,5, in der Klammer zusammenfassen
[mm] $-\frac{4}{7}=\sin\left(\pi\cdot\frac{28}{9}\cdot t\right)$
[/mm]
Auf beiden Seiten den Arcussinus nutzen, [mm] ($sin^{-1}$)
[/mm]
[mm] $\sin^{-1}\left(-\frac{4}{7}\right)=\pi\cdot\frac{28}{9}\cdot [/mm] t$
Beide Seiten [mm] :$\pi$
[/mm]
[mm] $\frac{\sin^{-1}\left(-\frac{4}{7}\right)}{\pi}=\frac{28}{9}\cdot [/mm] t$
Beide Seiten :28/9
[mm] $\frac{9\cdot\sin^{-1}\left(-\frac{4}{7}\right)}{28\cdot\pi}=t$
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 30.12.2012 | | Autor: | lunaris |
Hallo, vielen Dank.
Sofern ich den Taschenrechner richtig bedient habe kommt -0,047 s = t raus. angegebene Lösung ist aber 0,93 s. Wie komm ich auf die ?
Der Wert ist ja auch eigentlich egal,das Minus stimmt ja - ich muss doch auf eine positive Zeit kommen.....
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Hallo lunaris,
wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen würde ich hier keineswegs so rechnen, wie oben angegeben.
Der gute alte Dreisatz wirkt hier auch Wunder:
14s = 9 Schwingungen
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \frac{14}{9}s= [/mm] 1 Schwingung
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \ldots=\frac{3}{4} [/mm] Schwingung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 30.12.2012 | | Autor: | lunaris |
Nicht bös sein, das hab ich jetzt gar nicht verstanden....
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Hallo lunaris,
ich nehme an, dass sich die Ratlosigkeit auf meiner Rechnung bezog.
"Dreisatz" ist dir aber ein Begriff, ja? Das wäre der erste Schritt zum Verständnis.
Nun überlegen wir mal: Wir haben ein schwingungsfähiges System, beispielsweise eine Masse an einer Feder. Die Masse bewegt sich nun auf der y-Achse hin und her. Der Ruhepunkt soll genau der Ursprung sein (y=0).
Dies soweit als Vorspann.
Nun stand bei dir in der Aufgabe: "Ein harmonisch schwingender Körper vollendet in 14 s neun Schwingungen."
Anders geschrieben:
9 Schwingungen in 14 Sekunden. Das heißt aber auch, dass eine Schwingung in [mm] \frac{14}{9} [/mm] Sekunden erfolgt!
Eine Schwingung bedeutet doch folgendes: Zuerst beginnt die Schwingung im Nullpunkt (Ruhelage - das folgt aus der Aufgabenstellung). Dann geht die Masse in positive y-Richtung zum 1. Umkehrpunkt, dann wieder in die andere Richtung zum zweiten Umkehrpunkt und ändert dann noch einmal die Richtung bis zum Nullpunkt. Das beschreibt eine Schwinung. Also werden 4 Strecken zurückgelegt:
1. Strecke: Nullpunkt => 1. Umkehrpunkt
2. Strecke: 1. Umkehrpunkt => Nullpunkt
3. Strecke: Nullpunkt => 2. Umkehrpunkt
4. Strecke: 2. Umkehrpunkt => Nullpunkt
Alle Strecken sind gleich groß.
Wir wollen nun die Dauer herausfinden, die das System braucht um die drei ersten Strecken "abzulaufen", also Strecke 1, 2 und 3. Das sind ja offensichtlich [mm] \frac{3}{4} [/mm] einer Schwingung. Also brauchen wir auch nur [mm] \frac{3}{4} [/mm] der Zeit einer Schwingung. Und somit ergibt sich mit obigen:
[mm] t(\frac{3}{4}\text{ Schwingung})=\frac{3}{4}*\frac{14}{9}=\frac{42}{36}\approx{1,2}s
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 30.12.2012 | | Autor: | lunaris |
Da liegt jetzt wohl ein Kommunikationsfehler vor. Diese Antwort bezog sich auf b ) , aber die war ja schon geklärt und ich hatte auch das richtige Ergebnis raus. Schwierigkeiten habe ich mit der c ) . Da muss ich ja "blos" genau so einsetzen wie in die b . Nur bei b) bekomme ich das richtige raus und bei c ) stimmt es dann nicht mehr.
Hab nochmals nachgerechnet y (t) = - 2cm
ergibt für t = - 0,151 s
Überlegung : 1 Schwingung dauert 1,56 s
in den negativen y-Bereich kommt die Kurve nach t=0,78s.
dazu muss ich 0,151 s addieren, da es das 1-te mal ist
also 0,931 s .
Gedanklich richtig ?
Wie bringe ich das in eine korrekte Form ?
Gelernt : Wer mit dem Tschenrechner nicht umgehen kann denkt länger !!!!
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Hallo lunaris,
> Da liegt jetzt wohl ein Kommunikationsfehler vor.
Das glaube ich auch. Aber macht ja nix.
> Diese
> Antwort bezog sich auf b ) , aber die war ja schon geklärt
> und ich hatte auch das richtige Ergebnis raus.
> Schwierigkeiten habe ich mit der c ) . Da muss ich ja
> "blos" genau so einsetzen wie in die b . Nur bei b) bekomme
> ich das richtige raus und bei c ) stimmt es dann nicht
> mehr.
> Hab nochmals nachgerechnet y (t) = - 2cm
> ergibt für t = - 0,151 s
Das Problem ist hier in der Tat die Periodizität und damit auch am Definitionsbereich des Arkussinus.
> Überlegung : 1 Schwingung dauert 1,56 s
> in den negativen y-Bereich kommt die Kurve nach t=0,78s.
> dazu muss ich 0,151 s addieren, da es
> das 1-te mal ist
> also 0,931 s .
> Gedanklich richtig ?
Absolut! Diese Lösung habe ich gerundet auch heraus. Hinweis: Arbeite soweit wie möglich mit exakten Ergebnissen. Erst am Ende würde ich dann runden.
> Wie bringe ich das in eine korrekte Form ?
Physikalisch gesehen finde ich das absolut in Ordnung Da muss man nicht mehr beachten.
Mathematisch gesehen ist das ganze recht schwierig und so auch nicht wirklich zweckdienlich. Der Arkussinus ist nun einmal für ein gewisses Intervall nur definiert.
Wenn du aber dennoch eine Lösung haben willst, dann solltest du dir überlegen, für welche Werte [mm] \sin{t}=-4/7 [/mm] ist.
Zeichne dir dafür einfach mal den Arkussinus auf (lasse dabei mal den Definitionsbereich außer Acht).
Hinweis:
Dein TR wird sicherlich dazu auch streiken, eben genau wegen dem Definitionsbereich.
Als Lösung bekommst du dann
[mm] t=\frac{14}{18\pi}*(|\arcsin{(-4/7)}|+\pi)=\frac{14}{18\pi}*(\arcsin{(4/7)}+\pi)
[/mm]
Obiges ist korrekt, denn
[mm] \sin(\arcsin{(4/7)}+\pi)=\sin(\arcsin{(-4/7)})
[/mm]
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>
> Gelernt : Wer mit dem Tschenrechner nicht umgehen kann
> denkt länger !!!!
Die Geschichte mit dem Arkussinus ist ziemlich nervig. Das Beste ist hier in der Tat mit der physikalischen Anschauung zu arbeiten. Das verbietet ja niemand. Mit der korrekten schriftlichen Darstellung (also Begründung) ist das auch legitim.
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Nun noch ein paar Worte zur Teilaufgabe d)
Wie in dem anderen Beitrag würde ich hier empfehlen logisch an die Aufgabe heranzugehen.
Offensichtlich passiert die Masse die Stelle y=1.4cm genau dann zum zweiten Mal, wenn er sich auf dem Weg vom 1. Umkehrpunkt zum Nullpunkt befindet.
Damit ist die Zeit [mm] t=t_{\text{halbe Schwingung}}-t_{\text{Nullpunkt bis s=1.4}}
[/mm]
Besonders [mm] t_{\text{Nullpunkt bis s=1.4}} [/mm] ist hier leichter zu berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 So 30.12.2012 | | Autor: | lunaris |
Vielen, vielen Dank !!!!
War wirklich sehr, sehr hilfreich !
Mal sehen, ob ich morgen die zweite aufgabe ohne Hilfe schaffe !
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