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| Aufgabe | | Bilden Sie für g(x,y)= [mm] x^2 [/mm] y+xy-y+1 das Taylorpolynom 3.Grades [mm] T_{3}g((x,y);a) [/mm] mit a=(0,0). |
Die Formel aus der Vorl. lautet: [mm] T_{p}g(x;a)= \summe_{k=0}^{p} \bruch{1}{k!}D^k [/mm] f(a) [mm] (x-a)^k
[/mm]
Nun finde ich diese Formel etwas irreführend. Ich hab versucht einzusetzen soweit ich es konnte:
[mm] T_{3}g((x,y);a)= [/mm] 1+(0 -1) [mm] \vektor{x \\ y}+ [/mm] 1/2 [mm] \pmat{ 2y & 2x+1 \\ 2x+1 & 0 } (\vektor{x \\ y},\vektor{x \\ y})+ [/mm] 1/6 [mm] D^3 [/mm] f(a) [mm] (\vektor{x \\ y},\vektor{x \\ y},\vektor{x \\ y})
[/mm]
Also zunächst scheint mir dieses Produkt komisch: [mm] \pmat{ 2y & 2x+1 \\ 2x+1 & 0 } (\vektor{x \\ y},\vektor{x \\ y}). [/mm] ich denke, dass das so geht:(x [mm] y)\pmat{ 2y & 2x+1 \\ 2x+1 & 0 } (\vektor{x \\ y}) [/mm] aber beim nächsten schritt kenn ich mich nicht mehr aus. Erstens, wie schreibt man die 3.Ableitungen hin? ist das wieder eine Matrix, wenn ja was steht auf welchem Eintrag? und wie multiplizier ich diese mit dem komischen [mm] (\vektor{x \\ y},\vektor{x \\ y},\vektor{x \\ y})? [/mm] oder habe ich die formel komplett falsch interpretiert? danke für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir die Formel in wiki an, ich denk mit der Schreibweise kommt man besser zurecht.
Gruss leduart
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sorry, aber das habe ich bereits versucht, ohne erfolg.kannst du mir nicht in meinem speziellen fall weiterhelfen. zunächst einmal würde ich gerne wissen wie man die 3. ableitungen darstellt und dann mit dem [mm] (x-a)^3 [/mm] multipliziert! weiß das denn keiner:( ?
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Hallo sepp-sepp,
> sorry, aber das habe ich bereits versucht, ohne
> erfolg.kannst du mir nicht in meinem speziellen fall
> weiterhelfen. zunächst einmal würde ich gerne wissen wie
> man die 3. ableitungen darstellt und dann mit dem [mm](x-a)^3[/mm]
> multipliziert! weiß das denn keiner:( ?
Nun, bei den ersten partiellen ABleitungen ist es ein Vektor.
Bei den zweiten partiellen ABleitungen ist es eine Matrix.
Aber bei den dritten partiellen ABleitungen handelt es sich
um einen ![[]](/images/popup.gif) Tensor 3. Stufe.
Mir ist hier nur die Darstellung als dreidimensionales Gebilde bekannt.
Gruss
MathePower
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also ich hab mich nun mal durchgekämpft und es dank der formel auf
www.binomi.de/pdf/ana2_1.pdf
auf folgendes ergebnis gebracht: [mm] T_3 (x,y)=(x^2)y+xy-y+1
[/mm]
kann mir jemand sagen, ob das richtig ist???
danke!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 23.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hai,
Ich komm auf das gleiche!
Ich mach das immer so indem ich die je nach x und y ableite:
f
[mm] f_{x}, f_{y}
[/mm]
[mm] f_{xx}, f_{yx}, f_{xy}, f_{yy} [/mm] = [mm] f_{xx}, [/mm] 2* [mm] f_{xy}, f_{yy}
[/mm]
[mm] f_{xxx}, f_{yxx}, f_{xyx}, f_{yyx},f_{xxy}, f_{yxy}, f_{xyy}, f_{yyy}
[/mm]
= [mm] f_{xxx} [/mm] , [mm] 3*f_{yxx} [/mm] , [mm] 3*f_{xyy} [/mm] , [mm] f_{yyy}
[/mm]
...so brauchst du die Matrix schreibweise nicht mehr, da das schon die Ausmultiplizierte variante ist.
Natürlich sind das nur die Ableitungen der Funktion die vorkommen. Die richtigen Potenzen von x und y so wie die Vorfaktoren [mm] (\bruch{1}{0!},\bruch{1}{1!},\bruch{1}{2!},\bruch{1}{3!},...) [/mm] dürfen nicht vergessen werden!!!
Gruss
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