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Hallo
Meine Funktion sieht so aus:
[mm] f:R^2 [/mm] nach R , (x,y) nach f(x,y) = [mm] -3*x^2*y+3*x^2-3*x*y^2-y^3
[/mm]
Aufg. Bestimme die Stationären Punkte von f
und bestimme diejenigen stationären Punkte , in denen die Funktion f ein lokales Extremum besitzt.
meine vorläufige Lösung:
Zu lösen ist das nichtlineare Gleichungssystem:
erste Ableitung nach x lautet:
(1) f = [mm] -6*x*y+6*x-3*y^2=0
[/mm]
erste Ableitung nach y lautet:
(2) f = [mm] -3*x^2-6*x*y-3*y^2=0
[/mm]
Subtraktion von Gleichung (1) minus Gleichung (2) ergibt:
[mm] 6*x+3*x^2=0
[/mm]
umgeschrieben zu:
3*x*(2+x)=0 x ist also entweder 0 oder -2
ergibt die stationären Punkte (0,0) und (-2,2)
Bis hier ist es klar!!!
Jetzt kommt das Problem, diese Aufgabe kann man mit der Hesse Matrix nicht lösen, da diese für beide Fälle 0 ergibt, also keine Aussage möglich ist.
Also was ich ab hier schreibe verstehe ich noch nicht, und meine Fragen lauten:
- Warum wird im folgenden y als freie Variable genommen und nicht x, also warum steht unten in der Lösung nicht f(x,0) oder wäre das auch möglich?
-Warum kann man aus f(0,y) = [mm] -y^3 [/mm] schliessen, dass f kein Extremum hat?
(Bitte um genaue Rechnung)
-Ebenso bitte ich um Erklärung für den stationären Punkt (-2,y) und warum dieser durch diese Gleichung [mm] -(y-2)^3 [/mm] gelöst wird;
da doch gilt [mm] -(y-2)^3= -y^3+6*y^2-12*y+8 [/mm] (nur eine Näherung an die ursprüngliche Funktion!)
In einer Lösung steht aber hierzu folgendes:
es gilt: f(0,y) = [mm] -y^3, [/mm] folglich besitzt f im stationären Punkt (0,0) kein lokales Extremum.
Weiter gilt f(-2,y)= [mm] -12*y+12+6*y^2-y^3 [/mm] = [mm] -(y-2)^3,
[/mm]
und folglich besitzt f im stationären Punkt (-2,2) auch kein lokales Extremum.
Mfg Andy und besten Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mo 13.09.2004 | | Autor: | choosy |
moin moin,
also um mal ganz anschaulich zu sprechen, hast du z.B. dort ein lokales
Maximum, wo du in jede richtung gehen kannst und die funktionswerte kleiner werden.
d.h. insbesondere muessen die werte in x und y richtung abfallen.
wenn du nun von deinen stationaeren punkten in y richtung gehst, bewegst du dich entlang einer bahn die durch -y³ beschrieben wird. diese geht aber in einer Richtung nach oben in der anderen aber nach unten, also kann hier kein maximum vorliegen (denn es geht ja in einer richtung nach oben).
zur zweiten frage:
auch hier haben wir wie eben eine funktion -(y+2)³, genau wie eben kann also auch hier kein maximum vorliegen, die +8, die du vermisst aendern an der form der funktion nichts, sie wird nur nach oben oder unter verschoben. es aendert sich jedoch nichts daran ob die funktion in einer umgebung von besagtem punkt steigt oder faellt.
das war nun erstmal nur sehr locker umgangssprachlich vormuliert, die rechnungen hast du ja schon gepostet.
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