mehrdimensionale Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:53 Di 23.09.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien [mm] $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ [/mm] und [mm] $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ [/mm] gegeben durch
[mm] $f(x,y,z)=\begin{pmatrix}xy\\z^2-x^3\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] g(u,v)=\begin{pmatrix}u^3-v\\\frac{sin(u)}{1+v^2}\end{pmatrix}$
[/mm]
Berechnen Sie [mm] $D(g\circ [/mm] f)$ an der Stelle [mm] $(1,0,2)\in\mathbb{R}^3$
[/mm]
mit Hilfe der Kettenregel. |
Hi,
ich scheiter leider daran die mehrdimensionale Kettenregel anzuwenden, da ich mir nicht sicher bin wie ich einzusetzen habe.
Die Jacobimatrizen zu g und f habe ich aufgestellt, kann dies aber nicht gemäß der Kettenregel zu Ende bringen.
[mm] $Df(x,y,z)=\begin{pmatrix} y&x&0\\-3x^2&0&2z\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $Dg(u,v)=\begin{pmatrix}-1\\\frac{-2v\cos(u)}{(1+v^2)^2}\end{pmatrix}$
[/mm]
Nun muss ich ja
[mm] $Dg(f(x,y,z)\cdot [/mm] Df(x,y,z)$
bestimmen.
Ich weiß aber nicht so ganz wie ich
$Dg(f(x,y,z)$
bestimme.
Ansonsten muss ich ja einfach (1,0,2) einsetzen und die Matrizen multiplizieren.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 23.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo YuSul,
du möchtest also die Jacobi-Matrix [mm] J_{g\circ f}(1,0,2) [/mm] bestimmen. Dass die Abbildungen (total) differenzierbar sind, sollte noch gezeigt werden, um die Kettenregel anwenden zu dürfen. Das ist aber einfach, wenn man weiß, dass jede stetig partiell differenzierbare Funktion [mm] U\to\IR^m [/mm] mit $U [mm] \subseteq\IR^n$ [/mm] offen total differenzierbar ist.
Die Kettenregel besagt dann [mm] J_{g\circ f}(1,0,2)=J_g(f(1,0,2))J_f(1,0,2).
[/mm]
Nun ist
[mm] J_f(x,y,z)=\begin{pmatrix} y&x&0\\-3x^2&0&2z\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] J_g(u,v)=\begin{pmatrix} 3u^2&-1\\\frac{cos(u)}{1+v^2}&\frac{-2v sin(u)}{(1+v^2)^2}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow J_f(1,0,2)=\begin{pmatrix} 0&1&0\\-3&0&4\end{pmatrix}
[/mm]
und [mm] J_g(f(1,0,2))=J_g(\begin{pmatrix}1\cdot0\\2^2-1^3\end{pmatrix})=J_g(\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{10}&0\end{pmatrix} [/mm]
Matrizenmultiplikation gibt:
[mm] J_g(f(1,0,2))\cdot J_f(1,0,2)=\begin{pmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{10}&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1&0\\-3&0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&0&-4\\0&\frac{1}{10}&0\end{pmatrix}
[/mm]
Falls ich mich auf dem Weg nicht verrechnet habe, sollte das die gesuchte Jacobi-Matrix sein, durch die [mm] $D(g\circ [/mm] f)(1,0,2)$ dargestellt wird.
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Di 23.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Mir fällt gerade auf, dass ich mich beim abtippen "vertippt" habe. Wie dir ja aufgefallen ist habe ich die Jacobimatrix von g nur halb hingeschrieben. Ich hatte mich da auf meinem Zettel verguckt und nur [mm] $\frac{\partial g}{\partial v}(u,v)$ [/mm] notiert....
Mein Problem mit dem einsetzen hat sich geklärt. Ich sehe, dass ich irgendwie viel zu kompliziert gedacht habe. Ich kann gerade selbst nicht mehr nachvollziehen wieso ich damit Probleme hatte.
Vielen Dank.
Zu der totalen Differenzierbarkeit:
Reicht es die partiellen Ableitungen zu bilden und zu begründen, dass diese stetig sind, also Verkettung stetiger Funktionen?
Das würde mir nämlich ein wenig so vorkommen wie "ich zeige die Differenzierbarkeit indem ich differenziere"...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Di 23.09.2014 | | Autor: | Ladon |
> Mir fällt gerade auf, dass ich mich beim abtippen
> "vertippt" habe. Wie dir ja aufgefallen ist habe ich die
> Jacobimatrix von g nur halb hingeschrieben. Ich hatte mich
> da auf meinem Zettel verguckt und nur [mm]\frac{\partial g}{\partial v}(u,v)[/mm]
> notiert....
Habe ich mir schon gedacht.
> Mein Problem mit dem einsetzen hat sich geklärt. Ich sehe,
> dass ich irgendwie viel zu kompliziert gedacht habe. Ich
> kann gerade selbst nicht mehr nachvollziehen wieso ich
> damit Probleme hatte.
>
> Vielen Dank.
>
> Zu der totalen Differenzierbarkeit:
>
> Reicht es die partiellen Ableitungen zu bilden und zu
> begründen, dass diese stetig sind, also Verkettung
> stetiger Funktionen?
> Das würde mir nämlich ein wenig so vorkommen wie "ich
> zeige die Differenzierbarkeit indem ich differenziere"...
Ja, es reicht z.zg., dass die partiellen Ableitungen stetig sind, wie du beschrieben hast. Allerdings ist der zugrundeliegende Satz gar nicht so trivial, wie du andeutest. Beachte: Wenn alle Richtungsableitungen existieren, heißt das z.B. noch lange nicht, dass die totale Ableitung existiert. Beispiel: [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\frac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}, [/mm] falls [mm] x\in\IR\setminus\{(0,0)\} [/mm] und $=0$ falls $x=(0,0)$. Für [mm] v\in\IR^2 [/mm] berechnet man [mm] \partial_vf(0,0) [/mm] nach Def., was jedoch nicht linear von v abhängt, weshalb $Df(0,0)$ nicht existieren kann (ich kenne zumindest einen Satz, der das sagt).
Also ist der Satz schon eine wirkliche Erkenntnis 
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Di 23.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok.
Aber diese Begründung von oben würde hier ausreichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 23.09.2014 | | Autor: | Ladon |
> Ok.
>
> Aber diese Begründung von oben würde hier ausreichen?
Ja, du kannst erst die partiellen Ableitungen bilden und anschließend Stetigkeit über die Verkettung stetiger Funktionen begründen.
MfG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Di 23.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay.
Danke.
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