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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - mehrfach Induktion zeigen
mehrfach Induktion zeigen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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mehrfach Induktion zeigen: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 So 20.03.2016
Autor: SinistresFlagellum

Aufgabe
Wie beweist man eine Aussage [mm] $A(a_{1}, a_{2}, \cdots [/mm] , [mm] a_{n})$, [/mm] mit [mm] $a_{1}, a_{2}, \cdots [/mm] , [mm] a_{n} \in \IN$, [/mm] mittels vollständiger Induktion?

Aussagen der Form [mm] $A(a_{1})$ [/mm] sind trivial.

Auch Aussagen der Form [mm] $A(a_{1}, a_{2})$ [/mm] gehen noch.
Man zeigt:

1) $A(0,0)$
2) [mm] $A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1} [/mm] + 1, [mm] a_{2}) \forall a_{1}, a_{2} \in \IN [/mm] $
3) [mm] $A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1}, a_{2} [/mm] + 1) [mm] \forall a_{1}, a_{2} \in \IN [/mm] $

Wie geht man aber nun bei endlich vielen natürliche Zahlen vor?

Ich vermute mal:
1) $A(0, 0, [mm] \cdots, [/mm] 0)$

Muss man jetzt alle Variablen festhalten bis auf eine Einzige und über diese dann eine Induktion bilden? Also insgesamt müsste man dann doch $n$-verschiedene Induktionen zeigen?

        
Bezug
mehrfach Induktion zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 So 20.03.2016
Autor: tobit09

Hallo SinistresFlagellum!


> Wie beweist man eine Aussage [mm]A(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n})[/mm],
> mit [mm]a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n} \in \IN[/mm], mittels
> vollständiger Induktion?

Da gibt es verschiedene denkbare Methoden. Was jeweils sinnvoll ist, hängt von A ab. Denkst du an eine bestimmte Aussage(form) [mm] $A(a_1,\ldots,a_n)$? [/mm]


>  Aussagen der Form [mm]A(a_{1})[/mm] sind trivial.
>  
> Auch Aussagen der Form [mm]A(a_{1}, a_{2})[/mm] gehen noch.
>  Man zeigt:
>  
> 1) [mm]A(0,0)[/mm]
>  2) [mm]A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1} + 1, a_{2}) \forall a_{1}, a_{2} \in \IN[/mm]
>  
> 3) [mm]A(a_{1}, a_{2}) \Rightarrow A(a_{1}, a_{2} + 1) \forall a_{1}, a_{2} \in \IN[/mm]

Ja, das ist eine korrekte Methode. Wenn man 1), 2) und 3) nachgewiesen hat, folgt [mm] $A(a_1,a_2)$ [/mm] für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_1,a_2$. [/mm]


Weitere (ähnliche aber nicht völlig identische) denkbare Methoden sind z.B.:

(ii) Variante deiner Idee:
Es genügt, bei 2) nur [mm] $a_2=0$ [/mm] anstelle aller natürlichen Zahlen [mm] $a_2$ [/mm] zu betrachten.

(iii) Induktion nach der Summe [mm] $a_1+a_2$: [/mm]
Zeige per Induktion nach s, dass für alle natürlichen Zahlen s gilt: Für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_1,a_2$ [/mm] mit [mm] $a_1+a_2=s$ [/mm] gilt [mm] $A(a_1,a_2)$. [/mm]

(iv) Induktion nach einer der Variablen:
Zeige per Induktion nach [mm] $a_1$, [/mm] dass für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_1$ [/mm] gilt: Für alle natürlichen Zahlen [mm] $a_2$ [/mm] gilt [mm] $A(a_1,a_2)$. [/mm]
Gegebenenfalls ist im Induktionsanfang und/oder im Induktionsschritt der Induktion nach [mm] $a_1$ [/mm] jeweils eine Induktion nach [mm] $a_2$ [/mm] denkbar.


> Wie geht man aber nun bei endlich vielen natürliche Zahlen
> vor?
>  
> Ich vermute mal:
>  1) [mm]A(0, 0, \cdots, 0)[/mm]
>  
> Muss man jetzt alle Variablen festhalten bis auf eine
> Einzige und über diese dann eine Induktion bilden? Also
> insgesamt müsste man dann doch [mm]n[/mm]-verschiedene Induktionen
> zeigen?

Alle vier Methoden lassen sich auf mehr als zwei Variablen verallgemeinern.

Je größer n ist, desto mehr ist typischerweise zu zeigen; bei der naheliegenden Verallgemeinerung deiner Idee hat man in der Tat n+1 viele Einzelaussagen zu verifizieren.

Aber wie gesagt: Ob dieses Vorgehen im Einzelfall überhaupt sinnvoll ist, hängt von A ab.


Viele Grüße
Tobias

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