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| Aufgabe | | [mm] $(x_n)_n\in\IN [/mm] $ sei konvergent in $(M,d), [mm] y_0\inM, [/mm] R>=0$. Gilt dann die Ungleichung [mm] $d(x_n,y_0)<=R$ [/mm] für alle [mm] $n\inN$, [/mm] so ist auch [mm] $d(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n,y_0)<=R$. [/mm] |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, ich hoffe jemand kann mir einen Tipp geben.
Danke
freshstyle
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Hi,
> [mm](x_n)_n\in\IN[/mm] sei konvergent in [mm](M,d), y_0\inM, R>=0[/mm]. Gilt
> dann die Ungleichung [mm]d(x_n,y_0)<=R[/mm] für alle [mm]n\inN[/mm], so ist
> auch [mm]d(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n,y_0)<=R[/mm].
> Hallo,
> ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, ich
> hoffe jemand kann mir einen Tipp geben.
> Danke
> freshstyle
versuche es mit einem widerspruchsbeweis. sei [mm] $x_0=\lim x_n$. [/mm] Nimm also an, dass [mm] $d(x_0,y_0)=R+\epsilon$ [/mm] ist mit [mm] \epsilon>0. [/mm] da [mm] x_n [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, gibt es ein [mm] n_0, [/mm] sd. [mm] $d(x_n,x_0)<\epsilon/2\;,\forall n\ge n_0$. [/mm] Betrachte nun [mm] $d(x_0,y_0)$ [/mm] und versuche, mittels der dreiecks-ungl. einen widerspruch herbeizufuehren.
gruss
matthias
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