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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Do 29.04.2010 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum. Beweisen Sie folgende Aussage:
Sei [mm] p\in [/mm] X. Dann ist die Funktion f : X [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] d(x,p) stetig. |
Ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll und brauche dringend Hilfe,
wäre super wenn da jemand weiter weiß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei (X,d) ein metrischer Raum. Beweisen Sie folgende
> Aussage:
>
> Sei [mm]p\in[/mm] X. Dann ist die Funktion f : X [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> d(x,p) stetig.
> Ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll und
> brauche dringend Hilfe,
>
> wäre super wenn da jemand weiter weiß!
Mit der [mm] \Delta [/mm] - Ungl. gilt:
$f(x) = d(x,p) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,p)= d(x,y)+f(y)$,
also
$f(x)-f(y) [mm] \le [/mm] d(x,y)$
So, jetzt bist Du dran. Zeige auch noch:
$f(y)-f(x) [mm] \le [/mm] d(x,y)$
und folgere
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] d(x,y)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Do 29.04.2010 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Mit der $ [mm] \Delta [/mm] $ - Ungl. gilt:
$ f(x) = d(x,p) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,p)= d(x,y)+f(y) $,
also
$ f(x)-f(y) [mm] \le [/mm] d(x,y) $
So, jetzt bist Du dran. Zeige auch noch:
$ f(y)-f(x) [mm] \le [/mm] d(x,y) $
und folgere
$ |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] d(x,y) $
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Danke erstmal, aber wie kommst du auf die Dreieck Ungleichung, bzw warum benutzt du sie?
und leider weiß ich nicht wie ich weiter machen soll mit dem $ f(y)-f(x) [mm] \le [/mm] d(x,y) $, ich dachte das wäre jetzt dann schon gezeigt?
und warum soll ich $ |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] d(x,y) $ daraus folgern? Möchte ich quasi dort hinkommen und dann habe ich gezeigt, dass es stetig ist??
Tut mir leid, aber diese Thematik liegt mir überhaupt nicht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mit der [mm]\Delta[/mm] - Ungl. gilt:
>
> [mm]f(x) = d(x,p) \le d(x,y)+d(y,p)= d(x,y)+f(y) [/mm],
> also
>
> [mm]f(x)-f(y) \le d(x,y)[/mm]
>
> So, jetzt bist Du dran. Zeige auch noch:
>
> [mm]f(y)-f(x) \le d(x,y)[/mm]
>
> und folgere
>
> [mm]|f(x)-f(y)| \le d(x,y)[/mm]
>
> Danke erstmal, aber wie kommst du auf die Dreieck
> Ungleichung, bzw warum benutzt du sie?
Warum nicht. Sie steht zur Verfügung und der Beweis funktioniert damit. Ist das nicht genug Motivation ?
> und leider weiß ich nicht wie ich weiter machen soll mit
> dem [mm]f(y)-f(x) \le d(x,y) [/mm], ich dachte das wäre jetzt
> dann schon gezeigt?
Noch nicht ganz.
Wir hatten:
(1) [mm]f(x)-f(y) \le d(x,y) [/mm],
Genauso erhält man
[mm]f(y)-f(x) \le d(y,x) [/mm],
Wenn Du nun ins Spiel bringst, dass d(x,y)=d(y,x) ist, so erhälst Du
(2) [mm]f(y)-f(x) \le d(x,y) [/mm].
Aus (1) und (2) folgt
(*) [mm]|f(x)-f(y)| \le d(x,y)[/mm]
> und warum soll ich [mm]|f(x)-f(y)| \le d(x,y)[/mm] daraus
> folgern? Möchte ich quasi dort hinkommen und dann habe
> ich gezeigt, dass es stetig ist??
Ja, f ist sogar Lipschitzstetig !
Sei [mm] x_0 \in [/mm] X . Um die Stetigkeit von f in [mm] x_0 [/mm] nachzuweisen, nimm eine Folge [mm] (x_n) [/mm] aus X her mit [mm] x_n \to x_0. [/mm] Zeige jetzt mit (*), dass
[mm] f(x_n) \to f(x_0)
[/mm]
FRED
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> Tut mir leid, aber diese Thematik liegt mir überhaupt
> nicht..
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