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| Aufgabe | Sei X die Menge aller Zahlenfolgen und
d(x,y) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|x_{k}- y_{k}|}{1+|x_{k}- y_{k}|}
[/mm]
Zeigen Sie, dass d eine Metrik ist und das (X,d) ein vollständiger metrischer Raum ist. |
Hallo,
Also der Nachweis derersten drei Metrik Eigenschaften (d muss positiv sein, symmetrie, definitheit) sind klar.
Das was mir gerade Proleme bereitet, ist die Dreiecksungleicung.
Ich muss ja nachweisen, dass gilt:
d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)
[mm] \gdw \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|x_{k}- y_{k}|}{1+|x_{k}- y_{k}|} \le \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|x_{k}- z_{k}|}{1+|x_{k}- z_{k}|} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|z_{k}- y_{k}|}{1+|z_{k}- y_{k}|}
[/mm]
Wenn ich jetzt die hinteren zwei Summen zusammenziehen, würde es doch ausreichen wenn ich beweise, dass gilt:
[mm] \bruch{|x_{k}- z_{k}|}{1+|x_{k}- z_{k}|} [/mm] + [mm] \bruch{|z_{k}- y_{k}|}{1+|z_{k}- y_{k}|}
[/mm]
Des weiteren weiß ich ja , dass gilt (aus der Dreieckungleichung für reellle Zahlen):
[mm] |x_{k} [/mm] - [mm] y_{k}| \le |x_{k} [/mm] - [mm] z_{k}| [/mm] + | [mm] z_{k}- y_{k}| [/mm]
Aber schließe ich jetzt daraus, dass dann folgendes gilt
[mm] \bruch{|x_{k}- z_{k}|}{1+|x_{k}- z_{k}|} [/mm] + [mm] \bruch{|z_{k}- y_{k}|}{1+|z_{k}- y_{k}|} \ge \bruch{|x_{k}- y_{k}|}{1+|x_{k}- y_{k}|}
[/mm]
Wäre dankbar für jeden HInweis!!
Grüße.
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Hallo Student 0815,
> Sei X die Menge aller Zahlenfolgen und
> d(x,y) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|x_{k}- y_{k}|}{1+|x_{k}- y_{k}|}[/mm]
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> Zeigen Sie, dass d eine Metrik ist und das (X,d) ein
> vollständiger metrischer Raum ist.
> Hallo,
> Also der Nachweis derersten drei Metrik Eigenschaften (d
> muss positiv sein, symmetrie, definitheit) sind klar.
> Das was mir gerade Proleme bereitet, ist die
> Dreiecksungleicung.
> Ich muss ja nachweisen, dass gilt:
> d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y)
> [mm]\gdw \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|x_{k}- y_{k}|}{1+|x_{k}- y_{k}|} \le \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|x_{k}- z_{k}|}{1+|x_{k}- z_{k}|}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|z_{k}- y_{k}|}{1+|z_{k}- y_{k}|}[/mm]
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> Wenn ich jetzt die hinteren zwei Summen zusammenziehen,
> würde es doch ausreichen wenn ich beweise, dass gilt:
> [mm]\bruch{|x_{k}- z_{k}|}{1+|x_{k}- z_{k}|}[/mm] + [mm]\bruch{|z_{k}- y_{k}|}{1+|z_{k}- y_{k}|}[/mm]
>
> Des weiteren weiß ich ja , dass gilt (aus der
> Dreieckungleichung für reellle Zahlen):
> [mm]|x_{k}[/mm] - [mm]y_{k}| \le |x_{k}[/mm] - [mm]z_{k}|[/mm] + | [mm]z_{k}- y_{k}|[/mm]
> Aber schließe ich jetzt daraus, dass dann folgendes gilt
> [mm]\bruch{|x_{k}- z_{k}|}{1+|x_{k}- z_{k}|}[/mm] + [mm]\bruch{|z_{k}- y_{k}|}{1+|z_{k}- y_{k}|} \ge \bruch{|x_{k}- y_{k}|}{1+|x_{k}- y_{k}|}[/mm]
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> Wäre dankbar für jeden HInweis!!
> Grüße.
>
Zum Beweis der [mm] \triangle [/mm] -Ungleichung definiere dir eine Hilfsfunktion [mm] $h(x)=1-\frac{1}{x}$
[/mm]
(Es ist ja [mm] $\frac{|x_k-y_k|}{1+|x_k-y_k|}=\frac{1+|x_k-y_k|-1}{1+|x_k-y_k|}=1-\frac{1}{1+|x_k-y_k|}$)
[/mm]
Dann ist [mm] $h'(x)=\frac{1}{x^2}>0$ [/mm] für alle x, also h monoton steigend.
Also für [mm] $x\le [/mm] y$: [mm] $h(x)\le [/mm] h(y)$
Nun ist [mm] $|x_k-y_k|=|x_k-z_k+z_k-y_k|\le |x_k-z_k|+|z_k-y_k|$
[/mm]
Und damit schließlich ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo, danke für die schnelle Antwort. :)
habe noch eine kurze Rückfrage:
Kann ich jetzt daraus schon die Behauptung folgern?
Aber das Problem dabei ist ja dann, wenn ich
[mm] |x_{k}-y_{k}| [/mm] =x setze und y = [mm] |x_{k}-z_{k}| [/mm] + [mm] |z_{k} [/mm] - [mm] y_{k}| [/mm] .
dann folgt daraus ja da x [mm] \le [/mm] y ist auch h(x) [mm] \le [/mm] h(y).
Aber h(y) sähe ja dann so aus :
1- [mm] \bruch{1}{1+ |x_{k} - z_{k} | + |z_{k} - y_{k}|} [/mm] oder?
Aber eigentlich müsste es ja so aussehen, damit daraus die Behauptung folgt:
[mm] 1-\bruch{1}{1+ |x_{k} - z_{k}|} [/mm] + [mm] 1-\bruch{1}{1+ |z_{k} - y_{k}|} [/mm]
wie kommt man also von h(y) nach letzterem?
Oder reicht es einfach zu sagen , da x [mm] \le [/mm] y folgt die Behauptung?
Grüße.-
student
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Hallo nochmal,
> Hallo, danke für die schnelle Antwort. :)
> habe noch eine kurze Rückfrage:
> Kann ich jetzt daraus schon die Behauptung folgern?
> Aber das Problem dabei ist ja dann, wenn ich
> [mm]|x_{k}-y_{k}|[/mm] =x setze und y = [mm]|x_{k}-z_{k}|[/mm] + [mm]|z_{k}[/mm] -
> [mm]y_{k}|[/mm] .
> dann folgt daraus ja da x [mm]\le[/mm] y ist auch h(x) [mm]\le[/mm] h(y).
> Aber h(y) sähe ja dann so aus :
> 1- [mm]\bruch{1}{1+ |x_{k} - z_{k} | + |z_{k} - y_{k}|}[/mm] oder?
>
> Aber eigentlich müsste es ja so aussehen, damit daraus
> die Behauptung folgt:
> [mm]1-\bruch{1}{1+ |x_{k} - z_{k}|}[/mm] + [mm]1-\bruch{1}{1+ |z_{k} - y_{k}|}[/mm]
>
> wie kommt man also von h(y) nach letzterem?
> Oder reicht es einfach zu sagen , da x [mm]\le[/mm] y folgt die
> Behauptung?
Schreibe $h(x)$ in der Form [mm] $\frac{x}{1+x}$ [/mm] auf mit den obigen Argumenten.
Dann ist [mm] $\frac{|x_k-y_k|}{1+|x_k-y_k|}\le\frac{|x_k-z_k|+|z_k-y_k|}{1+|x_k-z_k|+|z_k-y_k|}$
[/mm]
Ziehe letzteren Bruch auseinander: [mm] $\ldots=\frac{|x_k-z_k|}{\ldots}+\frac{|z_k-y_k|}{\ldots}$ [/mm] und verkleinere schlussendlich die Nenner passend, so dass du die Brüche jeweils vergrößerst und die rechte zu zeigende Seite dastehen hast ...
Gruß
schachuzipus
>
> Grüße.-
> student
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ok, jetzt hab ich es verstanden wie es geht.
Vielen Vielen dank!! 
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