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| Aufgabe | Lemma 1.1
(1) 1 > 0
(2) x < Y $ [mm] \gdw [/mm] $ -x > -y
(3) x < y $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ a * x < a * y für a > 0
(4) x > 0 $ [mm] \Rightarrow \bruch{1}{x} [/mm] $ > 0
(5) x > y $ [mm] \Rightarrow \bruch{1}{x} [/mm] $ < $ [mm] \bruch{1}{y} [/mm] $ , für y,x >0
(6) x > y $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x + w > y + z für w > z
Beweisen sie Lemma 1.1.4
x > 0 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{x} [/mm] > 0 |
Guten Abend,
also meine Ideen waren jetzt diese:
Einfachste Variante (ist diese denn möglich oder ganz falsch?)
Nach Lemma gilt: 1 > 0
1 > 0 | : x (da x > 0)
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] > 0 [mm] \Box
[/mm]
Oder ist das jetzt wieder zu einfach und wenn ja, warum?
Zweite Variante:
Beweis durch Gegenbeweis:
Bedingung x > 0
[mm] \bruch{1}{x}\not=0 [/mm] , da [mm] \bruch{1}{x}*x [/mm] =1 (1. Fall)
[mm] \bruch{1}{x}\not<0 [/mm] , da [mm] \bruch{1}{x}*x\not<0*x \Rightarrow1\not<0 [/mm] (2. Fall)
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{x} [/mm] > 0 [mm] \Box
[/mm]
Danke schonmal !
lG
Michael
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Hallo,
als Korrektor würde ich die jeweils mehrere Warum ? in die Varianten schreiben.
Wie begründest du denn jeweils deine Folgerungen, bzw. welche Aussagen verwendest du dafür?
Wenn du das beantworten kannst kannst du dich auch selbst überzeugen welcher Beweis richtig ist und welcher nicht.
In dieser Hinsicht halte ich die 2. Variante für vielversprechend im Gegensatz zur 1. Variante.
P.S. Wir bewegen uns hier den reellen Zahlen?
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Servus,
> Hallo,
> P.S. Wir bewegen uns hier den reellen Zahlen?
Ja schon.
> als Korrektor würde ich die jeweils mehrere Warum ? in die
> Varianten schreiben.
> Wie begründest du denn jeweils deine Folgerungen, bzw.
> welche Aussagen verwendest du dafür?
> Wenn du das beantworten kannst kannst du dich auch selbst
> überzeugen welcher Beweis richtig ist und welcher nicht.
>
> In dieser Hinsicht halte ich die 2. Variante für
> vielversprechend im Gegensatz zur 1. Variante.
>
Dann versuch ichs doch gleich nochmal, also:
z.z.: x > 0 $ [mm] \Rightarrow \bruch{1}{x} [/mm] $ > 0
Es gilt wenn [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ [mm] \not< [/mm] 0 für x > 0, dann x > 0 $ [mm] \Rightarrow \bruch{1}{x} [/mm] $ > 0
Nach Lemma 1.1.(1) gilt: 1 > 0
Zeige [mm] \bruch{1}{x}\not=0 [/mm] für x > 0
[mm] 1>0\Rightarrow1\not=0\Rightarrow \bruch{1}{x}\not=0
[/mm]
Zeige weiter [mm] \bruch{1}{x}\not<0 [/mm] für x > 0
1 > [mm] 0\Rightarrow1\not<0\Rightarrow\bruch{1}{x}\not<0, [/mm] da x = |x| [mm] \Box
[/mm]
So denn ?
PS. das war die wirklich hilfreichste Antwort seit langem, die Art und Weise sich selbst "Warum ?" zu fragen und auszuformulieren hat mir viel gebracht, da ich sehr viele Sachverhalte vorraussetzte, die die Aufgabenstellungen zu dem Zeitpunkt nicht hergeben(dürfen/können). Danke !:)
lG
Michael
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Die Ansatze sind ganz gut, ich ergänze mal ein paar Begründungen:
> z.z.: x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x}[/mm] > 0
> Es gilt wenn [mm]\bruch{1}{x}[/mm] [mm]\not= 0 und \bruch{1}{x}[/mm] [mm]\not<[/mm]
aufgrund der Trichotomie (x<0 oder x=0 oder x>0)
> 0 für x > 0, dann x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x}[/mm] > 0
> Nach Lemma 1.1.(1) gilt: 1 > 0
> Zeige [mm]\bruch{1}{x}\not=0[/mm] für x > 0
> [mm]1>0\Rightarrow1\not=0\Rightarrow \bruch{1}{x}\not=0[/mm]
Da [mm]y \cdot 0=0[/mm] für alle [mm]y \in \mathbb R[/mm]
> Zeige weiter [mm]\bruch{1}{x}\not<0[/mm] für x > 0
> 1 > [mm]0\Rightarrow1\not<0\Rightarrow\bruch{1}{x}\not<0,[/mm] da x
> = |x| [mm]\Box[/mm]
Hier sehe ich nicht was du im letzten Schritt verwendest.
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> Die Ansatze sind ganz gut, ich ergänze mal ein paar
> Begründungen:
> > z.z.: x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x}[/mm] > 0
> > Es gilt wenn [mm]\bruch{1}{x}[/mm] [mm]\not= 0 und \bruch{1}{x}[/mm] [mm]\not<[/mm]
> aufgrund der Trichotomie (x<0 oder x=0 oder x>0)
das brauchen wir nicht hinzuschreiben, das wird vorrausgesetzt, denn das erfolgt durch die einfachste Implizierung.
> > 0 für x > 0, dann x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x}[/mm] > 0
> > Nach Lemma 1.1.(1) gilt: 1 > 0
> > Zeige [mm]\bruch{1}{x}\not=0[/mm] für x > 0
> > [mm]1>0\Rightarrow1\not=0\Rightarrow \bruch{1}{x}\not=0[/mm]
> Da
> [mm]y \cdot 0=0[/mm] für alle [mm]y \in \mathbb R[/mm]
Was hat das damit zu tun ? Versteh den Sinn der Begründung nicht, wie sollte es denn anders sein bei y*0, bzw was hat das mit 1/x zu tun, oder meinst du weil 1/x [mm] \not= [/mm] 0 |*x als Umformung ?
> > Zeige weiter
> [mm]\bruch{1}{x}\not<0[/mm] für x > 0
> > 1 > [mm]0\Rightarrow1\not<0\Rightarrow\bruch{1}{x}\not<0,[/mm]
> da x
> > = |x| [mm]\Box[/mm]
> Hier sehe ich nicht was du im letzten Schritt verwendest.
>
>
> Die Ansatze sind ganz gut, ich ergänze mal ein paar
> Begründungen:
> > z.z.: x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x}[/mm] > 0
> > Es gilt wenn [mm]\bruch{1}{x}[/mm] [mm]\not= 0 und \bruch{1}{x}[/mm] [mm]\not<[/mm]
> aufgrund der Trichotomie (x<0 oder x=0 oder x>0)
> > 0 für x > 0, dann x > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x}[/mm] > 0
> > Nach Lemma 1.1.(1) gilt: 1 > 0
> > Zeige [mm]\bruch{1}{x}\not=0[/mm] für x > 0
> > [mm]1>0\Rightarrow1\not=0\Rightarrow \bruch{1}{x}\not=0[/mm]
> Da
> [mm]y \cdot 0=0[/mm] für alle [mm]y \in \mathbb R[/mm]
> > Zeige weiter
> [mm]\bruch{1}{x}\not<0[/mm] für x > 0
> > 1 > [mm]0\Rightarrow1\not<0\Rightarrow\bruch{1}{x}\not<0,[/mm]
> da x
> > = |x| [mm]\Box[/mm]
> Hier sehe ich nicht was du im letzten Schritt verwendest.
na x > 0 entspricht doch x = |x| oder etwa nicht ? Sag nicht ich muss extra 1 / y mit y = |x| da x > 0 hinschreiben ? Wollte nicht ständig ",da x > 0" verwenden ....
Also wenn die Zeile "da x = |x|" durch ", da x > 0" wäre , ist es dann richtig ?
lG
Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Di 29.01.2013 | | Autor: | ms2008de |
Hi,
Die 1.1.(1) gabs doch bereits hier https://matheraum.de/read?t=946475 schon mal, also sollte die Diskussion darüber auch dort stattfinden.
Und nochmal, die Aufgaben so wie sie dastehen, sollen allgemein für angeordnete Körper gezeigt werden, das hat mit [mm] \IN, \IZ, \IQ, \IR [/mm] und sonstigen Spezialfällen erst mal NIX zu tun.
Viele Grüße
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Ich würds folgendermaßen angehen:
Voraussetzung: x>0
Annahme: [mm] \bruch{1}{x}<0
[/mm]
Dann folgt: [mm] 1=x*\bruch{1}{x}<0, [/mm] aber 1<0, kann wegen Lemma 1.1.(1) nicht sein , also Widerspruch.
Dass [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nicht 0 ist, folgt schon aus der Definition eines Körpers: Wenn K ein Körper ist, dann ist [mm] K\setminus\{0\} [/mm] bezüglich der Multiplikation abgeschlossen. Soll heißen: Da x nicht 0 ist, ist auch das multiplikativ Inverse von x nicht 0.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo bluedragon,
mich beschleicht das dunkle Gefühl, daß wir hier und in dem anderen thread die Aufgabe falsch verstehen. Sollen wir eine Aussage des Lemmas aus den anderen ableiten, so wie es hier versucht wird, oder sollen wir nicht vielmehr die Aussagen des Lemmas aus den Axiomen der reellen Zahlen ableiten? Nur dann kann ich einen Sinn in dem Ganzen entdecken. Kann das sein?
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Di 29.01.2013 | | Autor: | bluedragon |
Also effektiv können wir alles benutzten was vorher schon bewiesen wurde.
Daher lag bei mir die Schwierigkeit im Beweis für Lemma 1.1.(1).
Da sollten wirklich nur Körperaxiome und fundamentales Mengen-/Umformungswissen verwendet werden.
Aber wo es einmal gezeigt ist darf ich es verwenden, folglich auch Lemma 1.1.(2)/-(3)
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