minimale Oberfläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Meltem89 |
| Aufgabe | Hi, hier kommt die Hausaufgabe:
"330 ml Erdnüsse/Cola/... sollen in einer Dose untergebracht werden.
Für die Herstellungskosten und Umweltauswirkungen ist ein möglichst geringer Materialverbrauch erstrebenswert.
Welche Dosenform hat eigentlich den geringsten Materialverbrauch?
Um dafür eine Abschätzung vorzunehmen, wählen wir ein vereinfachtes Modell, das folgende Annahmen beinhaltet:
Für die Form einer Dose wählen wir den Zylinder.
Das Material sei überall gleich dick, so dass der Materialverbrauch genau dann am geringsten ist, wenn auch die Oberfläche am geringsten ist.
Somit ergibt sich:
Die Oberfläche des Zylinders soll minimal sein.
Das Volumen des Zylinders soll 330 ml betragen.
Gebt hierzu Variablen (mit Skizze), Haupt- und Nebenbedingungen, Zielfunktion und Intervalle für die Variablen an."
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Hi an alle. Ich weiss nicht so genau was ich hier machen soll.....
ich würde jetzt machen
als Hauptbedingung: O = 2 *pi*r(t+h)
und Nebenbedingung: 330ml=pi*r²*h
danach weiss ich leider nicht mehr so genau weiter...das mit den Intervallen verstehe ich auch nicht so ganz..kann mir jemand helfen?
LG Meltem
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Meltem!
Haupt- und Nebenbedingung mit $O \ = \ [mm] 2*\pi*r*(r+h)$ [/mm] bzw. [mm] $\pi*r^2*h [/mm] \ = \ 330ml \ = \ [mm] 330cm^3$ [/mm] .
Nun wird bei derartigen Aufgaben grundsätzlich die Nebenbedingung nach einer der beiden Variablen umgestellt und in die Hauptbedingung eingesetzt:
$h \ = \ [mm] \bruch{330}{\pi*r^2}$ $\Rightarrow$ [/mm] $O(r) \ = \ [mm] 2*\pi*r*\left(r+\bruch{330}{\pi*r^2}\right) [/mm] \ = \ ...$
Für diese Zielfunktion $O(r)_$ ist nun die Extremwertberechnung durchzuführen (Nullstellen der 1. Ableitung etc.).
Zu den Intervallen für die Variablen ist zu sagen, dass sie hier grundsätzlich positiv sein müssen, d.h.: $r,h \ > \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Meltem89 |
Hi. Danke für deine Hilfe...kannst du mir aber sagen, wieso bei der Nebenbedingung 330= 2 *pi*r² *h kommt? ich dachte die volumenformel für einen zylinder ist immer nur pi *r²*h
LG Meltem
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Meltem!
Du hast Recht mit Deiner Volumenformel [mm] $V_{\Zyl.} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*h$ [/mm] ... da habe ich mich schlicht und ergreifend vertippt (ist aber bereits korrigiert).
Gruß
Loddar
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