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Forum "Extremwertprobleme" - minimale Oberfläche
minimale Oberfläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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minimale Oberfläche: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 So 08.05.2005
Autor: lobo

Hallo!
Benötige wieder mal eure Hilfe!

Ein oben offener Flüssigkeitsbehälter vom Volumen 18 [mm] \pi [/mm] Liter hat die Form eines Zylinders mit halbkugelförmigem Boden. Wie sind die Maße zu wählen, damit der Materialverbrauch möglichst gering wird?

V=18 [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi [/mm] *r² *h + 2/3 * [mm] \pi [/mm] * r³

Omin= [mm] \pi [/mm] * r² + [mm] 2*\pi*r*h [/mm] + [mm] 2*r²*\pi [/mm]
[mm] O=3*r²*\pi+2*r*\pi*h [/mm]

h=(54-2*r³)/(3r²)

h in O einsetzen:
[mm] O=3r²\pi [/mm] + [mm] 2r\pi [/mm] * ((54-2r³)/3r²)
[mm] \pi [/mm] kann man herausheben

f(r)= 3r² + [mm] (108r-4r^4)/3r² [/mm]

f'(r)= 6r + [mm] ((108-16r³)*3r²)-(108r-4r^4)*6r)/9r^4) [/mm] = 0

[mm] -48r^5 [/mm] + [mm] 24r^4 [/mm] -324r² + 6r = 0
r* [mm] (-48r^4 [/mm] + 24³ -324r+6) =0

r1=0

Und hier stecke ich fest :-(

Wäre ganz toll wenn sich jemand die Mühe machen würde und mal schaut ob ich vielleicht einen Fehler gemacht habe. Wenn nicht, wäre ich füreinen kleinen Hinweis sehr dankbar! (Habs mit Polynomdivision probiert, aber hat irgendwie nicht geklappt)

MfG Jenny

        
Bezug
minimale Oberfläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 08.05.2005
Autor: Oliver

Hallo Jenny,

> Omin= [mm]\pi[/mm] * r² + [mm]2*\pi*r*h[/mm] + [mm]2*r²*\pi[/mm]
>  [mm]O=3*r²*\pi+2*r*\pi*h[/mm]

Ich denke, hier steckt der Fehler: Die Oberfläche des Behälters ergibt sich ja aus der halben Oberfläche einer Kugel mit Radius r und einer halben Zylindermantelfläche (oben ist der Behälter offen, unten schließt ja direkt die Halbkugel an). Versuch' mal die Funktion zu korrigieren und dann noch einmal weiter zu rechnen - der Weg an sich ist vollkommen in Ordnung.

Rechne auch bitte den Schritt zu [mm]-48r^5 + 24r^4 -324r² + 6r = 0[/mm] noch einmal nach, das kann ich so nicht ganz nachvollzienen.

Wenn Du Dir nicht sicher bist, poste doch hier bitte Dein Ergebnis. Ich vergleiche es dann mit meiner eigenen Rechnung.

Viele Grüße
Oliver

Bezug
                
Bezug
minimale Oberfläche: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 So 08.05.2005
Autor: lobo

Hallo Oliver!

Habe es nochmal mit der neuen Oberfläche gerechnet, aber irgendwie komm ich trotzdem nicht weiter...

[mm] Omin=2r\pih [/mm] + [mm] 2r²\pi [/mm]

h einsetzen in O:

O(r)= [mm] 2r²\pi [/mm] + [mm] 2r\pi [/mm] * ((54-2r³)/3r²)

O(r)= [mm] 2r²\pi [/mm] + [mm] (108r\pi [/mm] - [mm] 4r^4\pi)*3r² [/mm]

O(r)= [mm] \pi [/mm] * (2r² + [mm] (108r-4r^4)/3r² [/mm]

O'(r)= 4r + ((108-16r³)*3r² - [mm] (108r-4r^49*6r9/9r^4 [/mm]

O'(r)= 4r + [mm] (324r²-48r^5-648r²+24r^5)/9r^4 [/mm] =0

4r + 324r² [mm] -48r^5 [/mm] - 648r² [mm] +24r^5 [/mm] =0 /:4

[mm] -6r^5-81r²+r [/mm] = 0

r* [mm] (-6r^4 [/mm] - 81r + 1) = 0      r1=0

[mm] -6r^4 [/mm] - 81r + 1 = 0

So und hier steck ich wieder fest... Vielleicht hat noch jemand zeit es durchzusehen.

Danke, Jenny




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Bezug
minimale Oberfläche: Querverweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 So 08.05.2005
Autor: Loddar

.


Siehe Antwort von NanoSusi ...


Loddar


Bezug
        
Bezug
minimale Oberfläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 So 08.05.2005
Autor: NanoSusi

Hallo Jenny,

Habe gerade deine Aufgabe durchgelesen.
Bei deinem Gefäß handelt es sich doch um einen oben offenen Flüssigkeitsbehälter?
Wieso ist deine Oberfläche dann > Omin= [mm]\pi[/mm] * r² + [mm]2*\pi*r*h[/mm] + [mm]2*r²*\pi[/mm] ? Der erste Summand ist Kreisfläche, der zweite - Mantelfläche des Zylinders und dritte - halbe Oberfläche eines Kugels. Hast du mit dem ersten Summand den Deckel für den Wasserbehälter berechnet ?
Mir kommt es so vor, dass er bei diese Aufgabe überflüssig ist.

Dann das aus vorgegebenen Volumen durch r ausgedruckten h in die Oberflächenfunktion einstellen und ableiten (Maximum/Minimum-Bestimmung)

O=2[mm]\pi[/mm]r²+ 2[mm]\pi[/mm]rh


O(r)=2[mm]\pi[/mm]r(r+ [mm]\bruch{54-2r³}{3r²}[/mm])

      =   [mm]\bruch{2\pr(54+r³}{3r²}[/mm]

      =   [mm]\bruch{108\p+2\pir³}{3r}[/mm]

O'(r)=[mm]\bruch{12\pir³-108\pi}{3r²}[/mm]

O'(r)=0 für r=3

Mit diesem Ergebnis kannst du auch dein h bestimmen.

Natürlich ist meine Rechnung ohne Gewähr - probiere mal selbst noch einmal durchzurechnen.

MfG NanoSusi



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