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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 16.05.2006 | | Autor: | Bebe |
| Aufgabe | | Finden Sie zur reflexiven Halbordnung [mm] (2^\IN [/mm] , [mm] \subseteq) [/mm] ein Mengensystem M [mm] \subseteq 2^\IN, [/mm] das genau ein minimales Element , aber kein Minimum hat. |
Hallo, also mir ist bewusst, dass eine reflexive Halbordnung reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Weiterhin weiß ich, dass ein Minimum m [mm] \in [/mm] N und m untere Schranke von N ist. Ein minimales Element n [mm] \in [/mm] N und für alle x [mm] \in [/mm] N [mm] ((x,n)\in [/mm] R oder x=n). Ansonsten wurde uns der Hinweis gegeben , es an unendlichen Mengen zu zeigen. Nun zu meiner Frage: wie bringe ich das alles unter einen Hut, um dann eine Lösung für dieses Problem zu finden?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Finden Sie zur reflexiven Halbordnung [mm](2^\IN[/mm] , [mm]\subseteq)[/mm]
> ein Mengensystem M [mm]\subseteq 2^\IN,[/mm] das genau ein minimales
> Element , aber kein Minimum hat.
> Hallo, also mir ist bewusst, dass eine reflexive
> Halbordnung reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
> Weiterhin weiß ich, dass ein Minimum m [mm]\in[/mm] N und m untere
> Schranke von N ist. Ein minimales Element n [mm]\in[/mm] N und für
> alle x [mm]\in[/mm] N [mm]((x,n)\in[/mm] R oder x=n).
Nach dieser Definition ist ein minimales Element ein Minimum. Du meinst eher: $n [mm] \in [/mm] N$, und aus $x [mm] \le [/mm] n [mm] \in [/mm] R$ folgt $n = x$.
> Ansonsten wurde uns der
> Hinweis gegeben , es an unendlichen Mengen zu zeigen. Nun
> zu meiner Frage: wie bringe ich das alles unter einen Hut,
> um dann eine Lösung für dieses Problem zu finden?
Loese erstmal das folgende Teilproblem: Finde ein Mengensystem, welches kein minimales Element (und somit insb. kein Minimum) besitzt. Versuche dazu, eine unendliche Folge von [mm] Mengen~$M_i \subseteq \IN$ [/mm] mit [mm] $M_{i+1} \subsetneqq M_i$, [/mm] $i [mm] \in \IN$ [/mm] zu konstruieren.
Wenn du das hast, passe das Mengensystem [mm] $\{ M_i \mid i \in \IN \}$ [/mm] so an, dass es eine Menge $M [mm] \subseteq \N$ [/mm] gibt, die mit keinem [mm] $M_i$ [/mm] vergleichbar sind. Betrachte dann das Mengensystem [mm] $\{ M_i, M \mid i \in \IN \}$; [/mm] dieses tut das gewuenschte...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 16.05.2006 | | Autor: | Bebe |
Ein Mengensystem besteht wie der Name ja schon sagt, aus mehreren Mengen. Aber wie bringe ich dies mit dem Minimum zusammen? Kannst du mir bitte mal ein Beispiel geben, dass ich mir darunter irgendetwas vorstellen kann?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ein Mengensystem besteht wie der Name ja schon sagt, aus
> mehreren Mengen. Aber wie bringe ich dies mit dem Minimum
> zusammen?
Ein Minimum eines solchen Mengensystems ist eine Menge, die in allen anderen enthalten ist (da die Ordnungsrelation [mm] ``$\subseteq$'' [/mm] ist). Wenn du etwa das Mengensystem [mm] $\{ M_1, M_2, M_3 \}$ [/mm] mit [mm] $M_1 [/mm] = [mm] \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$, $M_2 [/mm] = [mm] \{1, 2, 3 \}$ [/mm] und [mm] $M_3 [/mm] = [mm] \{ 3, 4, 5 \}$ [/mm] hast, dann gilt [mm] $M_2 \subseteq M_1$, $M_3 \subseteq M_1$, [/mm] und natuerlich [mm] $M_i \subseteq M_i$ [/mm] fuer alle $i$, aber sonst gelten keine weiteren Teilmengerelationen. Damit folgt: [mm] $M_2$ [/mm] und [mm] $M_3$ [/mm] sind minimale Elemente des Mengensystems, es gibt jedoch kein Minimum.
Du brauchst jetzt eine unendliche absteigende Kette von Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] denn so wird verhindert, dass es ein minimales Element gibt (da es zu jeder solchen Teilmenge eine weitere im Mengensystem gibt die echt darin enthalten ist).
> Kannst du mir bitte mal ein Beispiel geben, dass
> ich mir darunter irgendetwas vorstellen kann?
Hat dir das weitergeholfen?
LG Felix
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Hallo!
Ich habe genau die gleiche Aufgabe gestellt bekommen. Die Antworten haben mir schon weiter geholfen, aber trotzdem noch die Frage: wie würde denn dann ein Minimum eines solchen Mengensystems aussehen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe genau die gleiche Aufgabe gestellt bekommen. Die
> Antworten haben mir schon weiter geholfen, aber trotzdem
> noch die Frage: wie würde denn dann ein Minimum eines
> solchen Mengensystems aussehen?
Sagen wir mal, $M$ besteht aus allen Mengen der Form [mm] $\IN [/mm] n$ mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] (und nehmen wir an, dass $0 [mm] \in \IN$ [/mm] ist). Dann ist die Menge [mm] $\{ 0 \} \in [/mm] M$ ein Minimum, da jede Menge $A [mm] \in [/mm] M$ die Menge [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] enthaelt.
LG Felix
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