minimalpolynome < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 16.04.2011 | | Autor: | jay91 |
| Aufgabe | W sei ein endlichdim. [mm] \IR [/mm] VR mit Skalarprodukt <.,.>
L:End(V)->End(V), T|->T*
zeige, dass das Minimalpolynom von L gegeben ist durch:
m(x)=(x+1)(x-1)
schließe daraus, dass [mm] End(V)\cong V_1 \oplus V_{-1}
[/mm]
zeige zusätzlich, dass ein Isomorphismus zwischen
[mm] V_{-1} [/mm] -> [mm] Alt^2(V) [/mm] besteht. |
hallo!
ich habe folgendermaßen angefangen:
für das minimalpolynom m muss gelten:
m(L)=0 und für jedes andere Polynom p mit p(L)=0 muss gelten m|p.
na gut dann gilt doch (E sei die Einheitsmatrix):
m(L)=(L+1E)(L-1E)= [mm] L^2-1E=L \circ [/mm] L -1E = 1E -1E=0
für [mm] \IR^n [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt, ist die auch das Minimalpolynom, da
[mm] (T^t)^t=T [/mm] gilt wobei das t transponiert bedeutet.
für [mm] \IR^1 [/mm] aber ja nicht..., oder?
die eigenwerte sind genau die Nullstellen des Minimalpolynoms und da dim(V)<oo folgt:
[mm] End(v)=V_1 \oplus V_{-1}, [/mm] also insbesondere isomorph...?
oder geht das anders?
zum nächsten:
definiere: g:End(V) -> Bilinearformen(V); g(T)=[(v,w) |-> <v,TW>]
warum ist das eine altinierende 2 Linearform?
wie zeige ich damit, dass ein Isomorphismus besteht?
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 16.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> W sei ein endlichdim. [mm]\IR[/mm] VR mit Skalarprodukt <.,.>
> L:End(V)->End(V), T|->T*
Hier ist $W = V$?
>
> zeige, dass das Minimalpolynom von L gegeben ist durch:
> m(x)=(x+1)(x-1)
Die Aufgabe ist uebrigens in dieser Form falsch: es muss [mm] $\dim [/mm] V > 1$ gelten. Fuer [mm] $\dim [/mm] V = 1$ ist das Minimalpolynom durch $x - 1$ gegeben, fuer [mm] $\dim [/mm] V = 0$ durch $1$.
> ich habe folgendermaßen angefangen:
> für das minimalpolynom m muss gelten:
> m(L)(T)=0 und für jedes andere Polynom p gilt m|p.
> na gut dann gilt doch (E sei die Einheitsmatrix):
> m(L)(T)=(L(T)+1E)*(L(T)-1E)= (T*+1E)(T*-1E)=T*^2-1E
>
> also muss doch gelten: T*^2= 1E??
Genau. Und es muss weiterhin gelten, dass [mm] $T^\ast \neq [/mm] E$ und [mm] $T^\ast \neq [/mm] -E$ ist, da $x - 1$ und $x + 1$ die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ sind und diese [mm] $T^\ast$ [/mm] nicht als "Nullstelle" haben duerfen.
> warum gilt das?
Nun, rechne es doch nach  Nimm dir ein Element [mm] $\varphi \in [/mm] End(V)$. Du musst jetzt zeigen, dass [mm] $(T^\ast)^2(\varphi) [/mm] = [mm] T^\ast(T^\ast(\varphi))$ [/mm] gleich [mm] $1E(\varphi) [/mm] = [mm] \varphi$ [/mm] ist.
Also leg mal los!
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 17.04.2011 | | Autor: | jay91 |
ok,
$ [mm] (T^\ast)^2(\varphi) [/mm] = [mm] T^\ast(T^\ast(\varphi)) [/mm] $= [mm] T^{\ast}(\varphi^{\ast})=(\varphi^{\ast})^{\ast}=\varphi=1E(\varphi)
[/mm]
ich habe oben in der aufgabe noch weitere fragen eingefügt, kurz bevor du geantwortest hast.
kann da jemand nochmal gucken?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mo 18.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok,
>
> [mm](T^\ast)^2(\varphi) = T^\ast(T^\ast(\varphi)) [/mm]=
> [mm]T^{\ast}(\varphi^{\ast})=(\varphi^{\ast})^{\ast}=\varphi=1E(\varphi)[/mm]
>
> ich habe oben in der aufgabe noch weitere fragen
> eingefügt, kurz bevor du geantwortest hast.
> kann da jemand nochmal gucken?
Das muß doch anders lauten !?
Sei T [mm] \in [/mm] End(V). Dann:
[mm] $L(T)=T^{\ast}$,
[/mm]
also:
[mm] $L^2(T)=(T^{\ast})^{\ast}=T$,
[/mm]
Damit ist
[mm] $L^2= id_{End(v)}$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
