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Forum "Folgen und Reihen" - modifizierte harmonische reihe
modifizierte harmonische reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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modifizierte harmonische reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Mi 05.11.2008
Autor: vivo

Hallo,

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1^{n+1}}{n} [/mm] = ln(2)

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm]

den ersten Grenzwert kann man ja über die Taylorentwichlung des ln berechnen.

aber wie kann man per hand den gw der zweiten ausrechnen?

vielen dank

        
Bezug
modifizierte harmonische reihe: Das sieht man...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Mi 05.11.2008
Autor: statler

...doch mit bloßem Auge :-) Aber jetzt im Ernst:

Mahlzeit!

> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1^{n+1}}{n}[/mm] = ln(2)
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] = [mm]\bruch{\pi^2}{6}[/mm]
>  
> den ersten Grenzwert kann man ja über die Taylorentwichlung
> des ln berechnen.
>  
> aber wie kann man per hand den gw der zweiten ausrechnen?

'Per Hand' ist gut. Meines Wissens stammt das Ding aus einer abgedrehten Reihen(oder Produkt?)-Entwicklung von trigonometrischen Funktionen. War nicht Euler derjenige welcher? Das heißt dann, daß Leute mit nur normaler Rechenbegabung da so ihr Problem haben werden.

Es kann sein, daß eine Herleitung hinten in Serre Corps locaux steht, wo er mit den Modulformen herummacht.

Man kann leider nicht alles im Kopf haben.

Gruß aus Harburg
Dieter

>  
> vielen dank


Bezug
                
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modifizierte harmonische reihe: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:08 Do 06.11.2008
Autor: statler


Hi!

> Es kann sein, daß eine Herleitung hinten in Serre Corps
> locaux steht, wo er mit den Modulformen herummacht.

Es steht in Serre, Cours d'Arithmétique bei den Modulformen und dort bei den Bernoulli-Zahlen, also anscheinend ein anderer Weg anders als bei Heuser.

Gruß
Dieter

Bezug
        
Bezug
modifizierte harmonische reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mi 05.11.2008
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-1^{n+1}}{n}[/mm] = ln(2)
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] = [mm]\bruch{\pi^2}{6}[/mm]

Eine Herleitung mit der Theorie der Fourierreihen findet sich in:

H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, § 138

FRED


>  
> den ersten Grenzwert kann man ja über die Taylorentwichlung
> des ln berechnen.
>  
> aber wie kann man per hand den gw der zweiten ausrechnen?
>  
> vielen dank


Bezug
                
Bezug
modifizierte harmonische reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mi 05.11.2008
Autor: vivo

alles klar, danke!

Bezug
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