matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAlgebramodulare Gleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Algebra" - modulare Gleichung
modulare Gleichung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

modulare Gleichung: Primzahl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 So 31.12.2017
Autor: sancho1980

Hallo

ich versuche folgende Aufgabenstellung zu lösen:

"Zeigen Sie: Wenn p eine Primzahl ist, so hat die Gleichung [mm] x^2=1 [/mm] (mod p) nur die Lösungen x = 1 (mod p) und x = -1 (mod p) (Tipp: [mm] x^2 [/mm] - 1 = (x - 1)(x + 1))".

Ich fange an mit:

[mm] x^2 [/mm] = 1 + kp mit k [mm] \in \IZ [/mm]

Das für mich nach Umformung zu

(x - 1)(x + 1) = kp

Wenn ich jetzt hier für x die Werte 1 oder -1 einsetze, dann lande ich bei

0 = kp

Was auch immer mir das sagen will ...

Ich kann auch umformen zu

[mm] \bruch{x - 1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{x + 1} [/mm]

bzw


[mm] \bruch{x + 1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{x - 1} [/mm]

Dann wird zumindest mal klar, dass der Nenner auf der rechten Seite nur 1 oder -1 sein kann; schließlich handelt es sich bei p um eine Primzahl. Aber was will mir das sagen? Angenommen ich setze x := 1 in

[mm] \bruch{x - 1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{x + 1} [/mm]

Dann erhalte ich letztendlich:

0 = [mm] \bruch{p}{2}. [/mm]

Setze ich x := -1, dann lande ich bei:

[mm] \bruch{-2}{k} [/mm] = [mm] \bruch{p}{0} [/mm]

Wenn ich 1 und -1 ein in die andere Formel einsetze, kommt das Gleiche (nur andersrum) raus. Was will mir das alles sagen?

Gruß und Danke,

Martin

        
Bezug
modulare Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 So 31.12.2017
Autor: abakus


> Hallo
>  
> ich versuche folgende Aufgabenstellung zu lösen:
>  
> "Zeigen Sie: Wenn p eine Primzahl ist, so hat die Gleichung
> [mm]x^2=1[/mm] (mod p) nur die Lösungen x = 1 (mod p) und x = -1
> (mod p) (Tipp: [mm]x^2[/mm] - 1 = (x - 1)(x + 1))".
>  

[mm] $x^2\equiv [/mm] 1mod p$ gilt genau dann, wenn  [mm] $x^2-1\equiv [/mm] 0mod p$ bzw.  [mm] $(x-1)(x+1)\equiv [/mm] 0 mod p$.
Letzteres bedeutet, dass (x-1)(x+1) durch die Primzahl(!) p teilbar ist.
Das geht nur, wenn (p-1) oder (p+1) durch p teilbar ist.
Übersetze diese Erkenntnis wieder in eine Kongruenzaussage,

Bezug
                
Bezug
modulare Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 So 31.12.2017
Autor: sancho1980

Ich versuche gerade, deinen Ausführungen zu folgen:

> [mm]x^2\equiv 1mod p[/mm] gilt genau dann, wenn  [mm]x^2-1\equiv 0mod p[/mm]
> bzw.  [mm](x-1)(x+1)\equiv 0 mod p[/mm].
>  Letzteres bedeutet, dass
> (x-1)(x+1) durch die Primzahl(!) p teilbar ist.

Soweit komm ich noch mit.

>  Das geht nur, wenn (p-1) oder (p+1) durch p teilbar ist.

Wie soll das gehen?

Für welche Primzahl p gilt denn, dass (p-1) oder  (p+1) durch p teilbar ist?

Bezug
                        
Bezug
modulare Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 So 31.12.2017
Autor: abakus


> Ich versuche gerade, deinen Ausführungen zu folgen:
>  
> > [mm]x^2\equiv 1mod p[/mm] gilt genau dann, wenn  [mm]x^2-1\equiv 0mod p[/mm]
> > bzw.  [mm](x-1)(x+1)\equiv 0 mod p[/mm].
>  >  Letzteres bedeutet,
> dass
> > (x-1)(x+1) durch die Primzahl(!) p teilbar ist.
>  
> Soweit komm ich noch mit.
>  
> >  Das geht nur, wenn (p-1) oder (p+1) durch p teilbar ist.

>  
> Wie soll das gehen?
>  

Geht natürlich nicht, dummer Schreibfehler von mir.
Eigentlich meinte ich:
Das geht nur, wenn (x-1) oder (x+1) durch p teilbar ist.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]