matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitstheoriemomenterzeugende Funktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - momenterzeugende Funktion
momenterzeugende Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

momenterzeugende Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Mi 24.10.2018
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit [mm] X\in\mathcal{L}^k [/mm] für alle $k$ und mit
[mm] r=\big(\limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{\bruch{\vert E(X^k)\vert}{k!}}\big)^{-1}>0 [/mm]

Ausserdem sei [mm] \kappa_k(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0} [/mm] für [mm] k\in\IN, [/mm] wobei
[mm] M_x(z)=E(e^{zX}) [/mm] momenterzeugende Funktion.

(a) Bestimme [mm] \kappa_1(X), \kappa_2(X) [/mm] und [mm] \kappa_3(X) [/mm] in Abhängigkeit der Momente von X.

(b) Zeige, dass [mm] \kappa_1(X+c) =\kappa_1(X)+c [/mm] und [mm] \kappa_k(X+c)=\kappa_k(X) [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] 2 und [mm] c\in\IR [/mm] gilt.

(c) Zeige weiter, [mm] \kappa_k(cX)=c^k\kappa_k(X) [/mm] für alle [mm] k\le [/mm] 1 und alle [mm] c\in\IR [/mm] gilt.
(d) Sind X,Y unabhängig, dann gilt [mm] \kappa_k(X+Y)=\kappa_k(X)+\kappa_k(Y) [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] 1

Hallo,

(a) Ich habe gelesen dass gilt
[mm] \kappa_k(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^k). [/mm]
also muss für k=1: [mm] \kappa_1(X)=E(X) [/mm] Erwartungswert
[mm] \kappa_1(X)=(log M_{X}(z)^{(1)})|_{z=0} [/mm]

erstmals habe ich log [mm] M_{X}(z) [/mm] abgeleitet, d.h. (log [mm] M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}(M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX})\overset{z=0}{=}E(X) [/mm]

Intuitiv würde ich nun sagen, dass [mm] \kappa_2(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^2) [/mm] und [mm] \kappa_3(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^3). [/mm]

aber für k=2 erhalte ich:
[mm] (\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX}))'\overset{produktregel}{=}\bruch{-1}{ M_{X}(z)}^2E(X^e^{zX})+\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(X^2e^{zX})\overset{z=0}{=}E(X^2)-E(X) [/mm]

für k=3 : [mm] \kappa_3(X)= E(X^3)-2E(X^2)+2E(X) [/mm]

stimmt das soweit?

(b) [mm] \kappa_1(X+c)=E(X+c)\overset{EW linear}{=}E(X)+c=\kappa_1(X)+c [/mm]

nun habe es für erstmals für k=2 nachgeprüft: Wenn ich es ausgehe [mm] \kappa_2(X)=E(X^2), [/mm] dann  erhalte ich [mm] \kappa_2(X+c)=E((X+c)^2)=E(X^2)+2cE(X)+c^2, [/mm]  aber wie komme ich von dort zu [mm] \kappa_2(X)? [/mm]
Kann mir da jemand weiterhelfen?
(c) [mm] \kappa_k(cX)=E((cX)^k)=E(c^kX^k)c^kE(X^k)=c^kE(X^k) [/mm]

(d) ich habe es mit der Verwendung des  Binomischen Lehrsatzes versucht, aber kam zu keinem Ergebnis.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

        
Bezug
momenterzeugende Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mi 24.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> (a) Ich habe gelesen dass gilt
> [mm]\kappa_k(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^k).[/mm]

das Buch zeig mir mal!
Es gilt [mm] $M_{X}(z)^{(k)}\big|_{z=0}=E(X^k)$, [/mm] also ohne [mm] $\log$ [/mm] davor.
Das ist die namensgebende Eigenschaft der Momenterzeugenden Funktion $M$.
Die Eigenschaft hattet ihr bestimmt auch… und demzufolge kann diese Eigenschaft nicht auch für [mm] $\kappa$ [/mm] gelten…

> erstmals habe ich log [mm]M_{X}(z)[/mm] abgeleitet

Gute Idee…

> d.h. (log [mm]M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}(M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX})\overset{z=0}{=}E(X)[/mm]

Halten wir erst mal fest: Es gilt:
[mm] $\kappa_1(X)\big|_{z=0} [/mm] = [mm] \bruch{M'_X(z)}{ M_{X}(z)}\big|_{z=0} [/mm] = [mm] \frac{E[X]}{1} [/mm] = E[X]$

Das $M'_X(z) = [mm] E[Xe^{zX}]$ [/mm] gilt, ist alles andere als trivial und wurde von dir auch nicht begründet. Du vertauschst da nämlich Ableitung und Erwartungswert, warum sollte das möglich sein? Links steht nämlich [mm] $\frac{d}{dz}M_X(z) [/mm] = [mm] \frac{d}{dz}E[e^{zX}]$ [/mm] und rechts steht [mm] $E[Xe^{zX}] [/mm] = [mm] E\left[\frac{d}{dz}e^{zX}\right]$. [/mm] Warum solltest du den Operator [mm] $\frac{d}{dz}$ [/mm] in den Erwartungswert ziehen können?

> Intuitiv würde ich nun sagen, dass [mm]\kappa_2(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^2)[/mm]
> und [mm]\kappa_3(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^3).[/mm]

Woher kommt deine Intuition?
Ich vermute ja, du verwechselst [mm] \kappa [/mm] und [mm] M_X [/mm]

> aber für k=2 erhalte ich:
>  [mm](\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX}))'\overset{produktregel}{=}\bruch{-1}{ M_{X}(z)}^2E(X^e^{zX})+\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(X^2e^{zX})\overset{z=0}{=}E(X^2)-E(X)[/mm]

Wieder: Schreibe lieber nur $M'_X$ und verwende die Eigenschaften der Momenterzeugenden Funktion.
Dann erhälst du: [mm] $\left(\frac{M'_X(z)}{M_X(z)}\right)' [/mm] = [mm] \frac{M''_X(z)M_X(z) - \left(M'_X(z)\right)^2}{M^2_X(z)}$ [/mm] und dann erhälst du für $z=0$ was?
Nicht deine Lösung… und wenn du die Lösung dann noch scharf anschaust, erkennst du womöglich, wie man das sonst nennt.


> (b) [mm]\kappa_1(X+c)=E(X+c)\overset{EW linear}{=}E(X)+c=\kappa_1(X)+c[/mm]

du unterschlägst hier schon wieder das [mm] $\log$ [/mm] im [mm] $\kappa$ [/mm]

>  (c) [mm]\kappa_k(cX)=E((cX)^k)=E(c^kX^k)c^kE(X^k)=c^kE(X^k)[/mm]

Hier auch…
  

> (d) ich habe es mit der Verwendung des  Binomischen
> Lehrsatzes versucht, aber kam zu keinem Ergebnis.

Viel einfacher: Was gilt für die momenterzeugende Funktioen einer Summe von unabhängigen Zufallsvariablen?
Also was ist [mm] M_{X+Y} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] M_X [/mm] und [mm] $M_Y$? [/mm] Nutze dann Logarithmusgesetze…

Gruß,
Gono


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2d 5. mana
FunkAna/Ungleichung
Status vor 2d 3. mana
S8-10/Flächeninhalt
Status vor 2d 3. kloeten
S8-10/Formel umstellen
Status vor 3d 5. Josef
UFina/Kalkulation Entwürfen
Status vor 4d 5. Pacapear
UAnaR1/Betragsungleichung
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]