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monotone Fkt. B(R)-B(R)-m.b.: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Mo 06.05.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Zeigen Sie: Jede monotone Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist [mm] \mathcal{B}(\IR)-\mathcal{B}(\IR)-messbar. [/mm]

Hallo,

wieder mal eine Frage meiner Seite, ich hoffe ich störe nicht.

Durchführen würde ich hier eine Fallunterscheidung, nämlich

1. f ist monoton steigend:
[mm] \{f\le c\}=\{w \in \IR: f(w) \le c\}=]-\infty,a(c)] \in \mathcal{B}(\IR) [/mm]

2. f ist monoton fallend:
[mm] \{f\ge c\}=\{w \in \IR: f(w) \ge c\}=]-\infty,a(c)] \in \mathcal{B}(\IR) [/mm]

Da es sich um halboffene Intervalle handelt, sind diese [mm] \in \mathcal{B}(\IR). [/mm]

Meine Frage ist nun: Ist diese Argumentation vollständig/richtig und ist ein Beweis notwendig (nach Aufgabenstellung), dass [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm]  Element der halboffenen Intervalle ist? Jetzt auf die schnelle kann ich mich nicht entsinnen, ob dies nach der Vorlesung bereits als bewiesen gilt.

Gruß

        
Bezug
monotone Fkt. B(R)-B(R)-m.b.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Mo 06.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1. f ist monoton steigend:
>  [mm]\{f\le c\}=\{w \in \IR: f(w) \le c\}=]-\infty,a(c)] \in \mathcal{B}(\IR)[/mm]

Was soll denn a(c) sein?

> Da es sich um halboffene Intervalle handelt, sind diese [mm]\in \mathcal{B}(\IR).[/mm]

[ok]
  

> und ist ein Beweis notwendig (nach Aufgabenstellung), dass [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm]  Element der halboffenen Intervalle ist?

Das ist doch schmu.... wenn dann sind die halboffenen Intervalle Elemente von [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm]
Wenn ihr das nicht gezeigt habt: Zeig es selbst! Das ist doch eine Fingerübung.
Wie habt ihr denn [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm] definiert?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
monotone Fkt. B(R)-B(R)-m.b.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Mo 06.05.2019
Autor: TS85

Ich habe vergessen die Definition für a(c) anzugegeben.
c stellt die Koordinate für die y-Achse dar (als Gerade "Schranke" für f(w)). a(c) ist die Funktion entlang der x-Achse dazu, welche auch die w-Werte abbildet. D.h. der Punkt (a(c),c) verläuft entlang der Funktion f.
Somit liegt f immer in dem genannten halboffenen Intervall.

Eine grafische Veranschaulichung dazu ist vermutlich nicht mehr erwünscht, wenn man nicht mehr in die 8. Klasse geht..

Die Definition werde ich erst recherchieren müssen.

Bezug
                        
Bezug
monotone Fkt. B(R)-B(R)-m.b.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Mo 06.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe vergessen die Definition für a(c) anzugegeben.
>  c stellt die Koordinate für die y-Achse dar (als Gerade
> "Schranke" für f(w)). a(c) ist die Funktion entlang der
> x-Achse dazu, welche auch die w-Werte abbildet. D.h. der
> Punkt (a(c),c) verläuft entlang der Funktion f.
>  Somit liegt f immer in dem genannten halboffenen
> Intervall.

Das ist Murks.
Da soll doch ein Element von [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] rauskommen, in deinem Fall bekanntermaßen ein halboffenes Intervall. Die haben bekanntlich die Form [mm] $]-\infty,a]$ [/mm] für [mm] $a\in\IR$. [/mm]

Vermutlich meinst du das richtige, aufgeschrieben ist es unverständlich....
Du solltest auch eine Fallunterscheidung machen, nämlich:
$ [mm] \{f\le c\}= \emptyset$ [/mm] (welche [mm] $c\in\IR$ [/mm] können das nur sein?)
$ [mm] \{f\le c\} [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] (wann gilt das?)
$ [mm] \{f\le c\} [/mm] = [mm] ]-\infty,a]$ [/mm] (Wann kann das auftreten und was ist dann a?)

Gruß,
Gono

Bezug
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