monotone u. beschränkte Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mi 08.08.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösungen für die unten stehenden Aufgaben, wäre nett wenn es sich jemand anschaut und sagt ob es passt. Vielen Dank im Voraus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Als erstes setze ich ein paar Werte für n ein.
n = 1 [mm] $a_n$ [/mm] = 1
= 2 = 1,29
= 3 = 1,4
= 4 = 1,46
= 5 = 1,5
Behauptung: Die Folge ist monoton steigend.
Beweis:
[mm] $a_n+1 [/mm] - [mm] a_n \ge [/mm] 0$
[mm] $\bruch{5(n+1)-1}{3(n+1)+1} [/mm] - [mm] \bruch{5n-1}{3n+1} \ge [/mm] 0$
[mm] $\bruch{5n+4}{3n+4} [/mm] - [mm] \bruch{5n-1}{3n+1} \ge [/mm] 0$
$(5n+4)(3n+1) - (5n-1)(3n+4) [mm] \ge [/mm] 0$
$15n²+5n+12n+4 - 15n²+20n-3n-4 [mm] \ge [/mm] 0$
$15n²+17n+4 - 15n²+17n-4 [mm] \ge [/mm] 0$
$8 [mm] \ge [/mm] 0$
Allgemein gültige Aussage, also ist diese Folge monoton steigend.
Beschränkt:
Mit [mm] $a_1$ [/mm] = 2 nach oben und K=1 nach unten beschränkt, daraus folgt:
[mm] $\bruch{5n-1}{3n+1} \ge [/mm] 1$
$5n-1 [mm] \ge [/mm] 3n+1$ für alle [mm] $n\in\IN*\sub$
[/mm]
hierbei bin ich mir nicht sicher, stimmt das dann so?
Grenzwert:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \bruch{5n-1}{3n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{5-1/n}{3+1/n} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n \to \infty} 5 - \limes_{n \to \infty} 1/n}{\limes_{n \to \infty} 3 + \limes_{n \to \infty} 1/n} [/mm] = [mm] \bruch{5-0}{3+0} [/mm] = 1,67$
[Dateianhang nicht öffentlich]
natürlich gibt es Folgen die konvergent sind, aber nicht monoton steigend oder fallend sind. Wäre dies solch eine Funktion $ [mm] (-1)^n\bruch{1}{n} [/mm] $ ? Das kann man sich auch bildlich vorstellen, wenn g=2 einer Folge ist, diese steigt z.B. 1,4 1,5 1,7 1,6 1,8, dann ist diese schon nicht mehr monoton steigend. Kann man sich solche eine Folge auch herleiten?
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) [mm] $a_n=3$, [/mm] q=0,9, [mm] $a_1=3$, [/mm] somit ergibt sich
$1,5 = 3 * [mm] 0,9^n-1$
[/mm]
$0,5 = [mm] 0,9^n-1$
[/mm]
$lg 0,5 = (n-1) lg 0,9$
$n = [mm] \bruch{lg 0,5}{lg 0,9}+1$
[/mm]
$n = 7,6$
Es werden 8 Stäbe benötigt, oder? Kann ich dies auch anders herausfinden. Es geht ja um monotone und beschränkte Folgen, deshalb weiß ich nicht ob die Lösung so korrekt ist. Man könnte doch durch die Anhaltspunkte, monoton fallend, nach oben = 3 beschränkt und nach unten = 1,5 beschränkt. Wie kann man daraus eine Folge herleiten?
b) n=10, [mm] $a_1=1,5$, [/mm] q=1,1
$a_10 = 1,5 * [mm] 1,1^n-1$
[/mm]
$a_10 = 3,54$
Der zehnte Stab ist 3,54m hoch. Stimmt das? Die gleiche Frage wie bei a) kann man durch die Anhaltspunkte eine Folge bestimmen?
c) n=10, [mm] $a_1=1,5$, [/mm] d=1,1
[mm] $S_n [/mm] = 10/2 (2*1,5+(10-1)1,1)$
[mm] $S_n [/mm] = 5 (3+ 9,9)$
[mm] $S_n [/mm] = 64,5$
Die Gesamthöhe von 10 Stäben beträgt 64,5m, oder? Die gleiche Frage wie bei a) und b) kann man durch die Anhaltspunkte selbst eine Folge bestimmen?
d)
[mm] $S_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{1-0,9}= [/mm] 30$
Wenn n gegen unendlich läuft würde die Gesamthöhe 60m betragen. Was mir hier auffällt, dass die c) sehr wahrscheinlich falsch ist, denn wenn n gegen unendlich kleiner ist, als wenn n=10 ist, kann dies doch schwer möglich sein.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mi 08.08.2007 | | Autor: | itse |
anscheinend ist bei den Bildern etwas schief gegangen, hier nochmals die Aufgaben
1.
[Dateianhang nicht öffentlich]
2.
[Dateianhang nicht öffentlich]
3.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 08.08.2007 | | Autor: | itse |
>Das stimmt soweit. Denn der Term $ (3n+1)_ $ ist ja auch für >alle natürlichen Zahlen positiv.
>Nun nach $ n \ [mm] \ge [/mm] \ ... $ umstellen.
$5n-1 [mm] \ge [/mm] 3n+1$
$2n [mm] \ge [/mm] 2$
$n [mm] \ge [/mm] 1$ für alle $ [mm] n\in\IN\cdot{}\sub [/mm] $
nun setze ich n=1, weil n gilt für alle natürlichen Zahlen außer Null, somit $1 [mm] \ge [/mm] 1$, nun stimmt es so?
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Hallo itse!
> [mm]5n-1 \ge 3n+1[/mm]
> [mm]2n \ge 2[/mm]
> [mm]n \ge 1[/mm] für alle [mm]n\in\IN\cdot{}\sub[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> nun setze ich n=1, weil n gilt für alle natürlichen Zahlen
> außer Null, somit [mm]1 \ge 1[/mm], nun stimmt es so?
Nein, Du hast doch mit $n \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ bereits eine wahre Aussage, da $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ 1,2,3,... \ \right\}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo
ich möchte dich vor deinem folgenden "Beweisschema" warnen. Mathematiker lassen dir das nicht durchgehen. Du reihst einige Umformungen ohne "Verbindung" aneinander (zu Vorzeichenfehlern s. unten Roadrunner) und "folgerst" aus einem wahren Ergebnis, dass dein Anfang richtig war. Das ist logisch nicht korrekt, wie folgendes einfache, genau so aufgebaute Gegenbeispiel zeigen soll.
-1>1
-1-1>0
[mm] (-1-1)^{2}>0^{2}
[/mm]
4>0
allgemein gültige Aussage, also ist-1>1.
> Beweis:
>
> [mm]a_n+1 - a_n \ge 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{5(n+1)-1}{3(n+1)+1} - \bruch{5n-1}{3n+1} \ge 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{5n+4}{3n+4} - \bruch{5n-1}{3n+1} \ge 0[/mm]
>
> [mm](5n+4)(3n+1) - (5n-1)(3n+4) \ge 0[/mm]
>
> [mm]15n²+5n+12n+4 - 15n²+20n-3n-4 \ge 0[/mm]
>
> [mm]15n²+17n+4 - 15n²+17n-4 \ge 0[/mm]
>
> [mm]8 \ge 0[/mm]
>
> Allgemein gültige Aussage, also ist diese Folge monoton
> steigend.
>
Ausweg 1:
Falls möglich: weise darauf hin, dass deine Zeilen äquivalent [mm] (\gdw) [/mm] sind.
(Bei deiner Folge ist das möglich, bei meinem Gegenbeispiel nicht).
Ausweg 2 ("eleganter"):
Beweise direkt:
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{5(n+1)-1}{3(n+1)+1} [/mm] - [mm] \bruch{5n-1}{3n+1}=\bruch{(5n+4)(3n+1)-(5n-1)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}=\bruch{8}{(3n+4)(3n+1)}>0 [/mm] für alle n. Daraus folgt [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n [/mm] für alle n, d.h. die Folge ist monoton steigend
gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mi 08.08.2007 | | Autor: | itse |
Danke für die Antworten, bei dem Beweis hast du Recht, werde von nun an darauf achten. Was ich noch Fragen wollte, ob die anderen beiden Aufgaben stimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Mi 08.08.2007 | | Autor: | itse |
bitte nicht beachten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
a) ist fast richtig. Nur musst du das "=" durch ein [mm] "\le" [/mm] ersetzen. Also,
[mm] a_{1}=3; [/mm] q=0,9, also [mm] a_{n}=0,9^{n-1}*a_{1}
[/mm]
n [mm] \le [/mm] 7,6
Das heißt, es werden 7 Stäbe benötigt.
b) [mm] a_{10}=0,9^9 [/mm] * 3
c) Pro Flügel:
[mm] \summe_{i=1}^{10}0,9^{i-1}*3 [/mm] = [mm] 3*(1-0.9^{10})/(1-0.9)
[/mm]
d) Ist rischtisch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Do 09.08.2007 | | Autor: | itse |
danke für die antwort, bei b) und c) ist mir nun klar warum es nicht stimmt. ich habe von unten nach oben gerechnet und nicht wie in der aufgabenstellung vorgegeben von oben nach unten, deshalb auch 1,1 und nicht 0,9.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Do 09.08.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
bei Teilaufgabe d)
>$ [mm] S_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{1-0,9}= [/mm] 30 $
>Wenn n gegen unendlich läuft würde die Gesamthöhe 60m >betragen.
Die Gesamthöhe wenn n gegen unendlich ist doch 30, ich darf diese doch nicht mal 2 nehmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Do 09.08.2007 | | Autor: | Schnien |
> Hallo Zusammen,
>
> bei Teilaufgabe d)
>
> >[mm] S_n = \bruch{3}{1-0,9}= 30[/mm]
>
> >Wenn n gegen unendlich läuft würde die Gesamthöhe 60m
> >betragen.
>
> Die Gesamthöhe wenn n gegen unendlich ist doch 30, ich darf
> diese doch nicht mal 2 nehmen, oder?
Ja, das ist richtig.
Die Gesamthöhe pro Flügel beträgt 30 Meter. (Danach wurde auch gefragt)
(Die Gesamthöhe aller Stäbe für das ganze Tor wäre dann 60m)
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Hallo itse!
> natürlich gibt es Folgen die konvergent sind, aber nicht
> monoton steigend oder fallend sind. Wäre dies solch eine
> Funktion [mm](-1)^n\bruch{1}{n}[/mm] ?
Dieses Beispiel wäre mir auch eingefallen.
> Das kann man sich auch bildlich vorstellen, wenn g=2 einer Folge ist,
> diese steigt z.B. 1,4 1,5 1,7 1,6 1,8, dann ist diese schon nicht mehr
> monoton steigend. Kann man sich solche eine Folge auch herleiten?
Klar, vielleicht halt nicht durch eine explizite Folgenvorschrift. Man kann eine Folge auch anhand der Folgenglieder definieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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im letzten Schritt. Denn bei Dir müsste es links heißen $4-4 \ = \ 0$ .
