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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 So 16.11.2008 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | [mm] p_n=\left( \bruch{2}{1} \right)*$ \left( \bruch{4}{3} \right) $*\left( \bruch{6}{5} \right)*...*$ \left( \bruch{2n}{2n-1} \right) [/mm] $
zu zeigen: [mm] \left( \bruch{p_n}{\wurzel{n+1}} \right) [/mm] ist mon. steigend. |
hallo,...
1. Möglichkeit: [mm] \left( \bruch{p_n_+_1^2}{n+2} \right)$ -\left( \bruch{p_n ^2}{n+1} \right) [/mm] $ [mm] \ge [/mm] 0
2. Möglichkeit: [mm] \left( \bruch{\left( \bruch{p_n_+_1^2}{n+2} \right)}{\left( \bruch{p_n^2}{n+1} \right)} \right) \ge [/mm] 1
habe schon beide möglichkeiten probiert, scheitere kläglich. warum?
mein ansatz zur 1. methode: [mm] \left(
\left( \bruch{2}{1} \right) \left( \bruch{4}{3} \right)\left( \bruch{6}{5} \right)...\right)^2 [/mm] [mm] \left( \left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+2} \right) - \left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+1} \right)\right)
[/mm]
dann ist der erste teil [mm] \ge [/mm] 0.
zu zeigen: [mm] \left( \left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+2} \right) - \left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+1} \right)\right)\ge0.
[/mm]
also:
[mm] \left( \left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+2} \right) \ge\left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+1} \right)\right)
[/mm]
puh...hoffe, es haben sich keine fehler eingeschlichen
komme auf nix, was mir weiter hilft, wenn ich das ausmultipliziere.
kann jemand weiter helfen?
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Hallo dorix,
eine kurze Rückmeldung zu beiden Methoden:
Vorab aber mach Dir klar, dass [mm] p_{n+1}=p_n*\bruch{2n+2}{2n+1} [/mm] ist. Das brauchst Du bei beiden Wegen (und Du hast es ja auch schon verwendet).
1. Möglichkeit:
[mm]\left( \bruch{p_n_+_1^2}{n+2} \right)-\left( \bruch{p_n ^2}{n+1} \right)=\blue{\left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2} \left( \bruch{\green{p_n^2}}{n+2} \right) - \red{\left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 } \left( \bruch{\green{p_n^2}}{n+1} \right)\ge[/mm] 0
Die blaue Klammer stammt aus der Rekursion [mm] p_{n+1}, p_n, [/mm] aber woher nimmst Du die rote? Das ist hier wohl schon das ganze Problem. (Die [mm] p_n^2 [/mm] musste ich einfügen, weil ich aus Deiner Gleichung in einem späteren Stadium kopiert habe. Hier sind sie ja noch da).
2. Möglichkeit:
zu zeigen: [mm] \bruch{p_{n+1}^2}{n+2}\ge\bruch{p_n^2}{n+1}
[/mm]
Da auch wieder die Rekursionsformel für [mm] p_{n+1} [/mm] einsetzen, dann fliegt bald [mm] p_n^2 [/mm] raus, und Du kannst lustig umformen und gelangst zu der zu prüfenden Aussage [mm] 3n+1\ge0
[/mm]
...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 16.11.2008 | | Autor: | dorix |
vielen dank,
habe meinen fehler gefunden
hänge jetzt aber am grenzwert fest, da ich dachte man könnte ihn für
[mm] \left( \bruch{p_n^2}{n} \right) [/mm] einfach aus der rekursionsvorschrift ableiten...funktioniert aber so nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 So 16.11.2008 | | Autor: | reverend |
=keine Ahnung.
Der Grenzwert für [mm] \left(\bruch{p_n^2}{n}\right) [/mm] ist zwar [mm] \pi, [/mm] aber ich habe keine Ahnung, warum. Ich erkenne keine der mir bekannten Reihenentwicklungen wieder. Außerdem konvergiert Deine Folge entsetzlich langsam. Wahrscheinlich ist mir die Entwicklung daher auch noch nie begegnet.
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