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| Aufgabe | | [mm] \Phi^4 [/mm] = [mm] \Phi^2 [/mm] |
Hallo!
Also ich bereite mich gerad auf meine mündliche Prüfung in Lina 2 vor und bin in Prüfungsprotokollen auf diese Frage gekommen: Der Prof schreibt die Aufgabenstellung von da oben so hin und fragt: was fällt ihnen dazu ein.
also ehrlich gesagt fällt mir dazu nicht so wirklich viel ein.
Bisher nur: es kann eine nilpotente Abbildung sein mit dem Abbruchindex 2. d.h. [mm] \Phi^2 [/mm] = 0 --> Kernsequenz wird stationär.
nur leider ist das wohl ein bisschen zu einfach. oder nicht?
Könnt ihr mir dabei vlt helfen??
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mo 22.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\Phi^4[/mm] = [mm]\Phi^2[/mm]
> Hallo!
> Also ich bereite mich gerad auf meine mündliche Prüfung
> in Lina 2 vor und bin in Prüfungsprotokollen auf diese
> Frage gekommen: Der Prof schreibt die Aufgabenstellung von
> da oben so hin und fragt: was fällt ihnen dazu ein.
>
> also ehrlich gesagt fällt mir dazu nicht so wirklich viel
> ein.
>
> Bisher nur: es kann eine nilpotente Abbildung sein mit dem
> Abbruchindex 2. d.h. [mm]\Phi^2[/mm] = 0 --> Kernsequenz wird
> stationär.
> nur leider ist das wohl ein bisschen zu einfach. oder
> nicht?
Ich nehme an, [mm] \Phi [/mm] ist ein Endomorhismus eines Vektorraumes V.
Wie Du schreibst "kann nilpotent sein" , muß aber nicht.
Mir fällt noch ein:
1. [mm] \Phi^2(\Phi+E)(\Phi-E)=0$
[/mm]
2. Aus 1. folgt: $V = [mm] ker(\Phi^2)\oplus ker(\Phi+E) \oplus Ker(\Phi-E)$ [/mm] (Beweis ?)
3. ist [mm] \lambda [/mm] ein eigenwert von [mm] \Phi, [/mm] so ist [mm] \lambda \in [/mm] {-1,0,1}
(Beweis)
FRED
>
> Könnt ihr mir dabei vlt helfen??
>
> Danke schonmal!
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ja genau richtig.... [mm] \phi [/mm] ist ein endomorphismus...
okay verstehe ich soweit was du meinst nur was meinst du mit beweisen? folgt das nicht direkt alles aus der dimensionsformel (2) ??
Danke schonmal für die mühe
scheint nämlich ziemlich wichtig zu sein weil es auch noch nen analoges beispiel gibt: [mm] \phi^7 [/mm] = [mm] \phi^6 [/mm] <--> [mm] \phi^6(\phi [/mm] - Id) = 0 das ist ja dann genau analog mit [mm] \lambda \in [/mm] {0 ; 1}
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 22.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja genau richtig.... [mm]\phi[/mm] ist ein endomorphismus...
>
> okay verstehe ich soweit was du meinst nur was meinst du
> mit beweisen?
Na ja, das übliche ....
> folgt das nicht direkt alles aus der
> dimensionsformel (2) ??
Wo, was ist (2) ?
>
> Danke schonmal für die mühe
> scheint nämlich ziemlich wichtig zu sein weil es auch
> noch nen analoges beispiel gibt: [mm]\phi^7[/mm] = [mm]\phi^6[/mm] <-->
> [mm]\phi^6(\phi[/mm] - Id) = 0 das ist ja dann genau analog mit
> [mm]\lambda \in[/mm] {0 ; 1}
Ja, aus [mm]\phi^7[/mm] = [mm]\phi^6[/mm] folgt für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von [mm] \Phi: \lambda [/mm] = 0 oder = 1.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mo 22.03.2010 | | Autor: | HansPeter |
sry die 2 sollte sich auf deine 2te aussage beziehen...
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> okay verstehe ich soweit was du meinst nur was meinst du
> mit beweisen? folgt das nicht direkt alles aus der
> dimensionsformel (2) ??
Hallo,
laß uns an Deinen Überlegungen teilnehmen und zeig' uns, wie es direkt aus der Dimensionsformel folgt - wie in der Prüfung!
Dann können wir entscheiden, ob es falsch oder richtig ist.
Gruß v. Angela
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hm ja so einfach scheint es doch nicht zu sein...
also dass das gerade die eigenwerte sind die kerne das ist ja klar nach definition... dafür stellt man ja gerade [mm] \Phi(v) [/mm] = [mm] \lambda*v [/mm] um und kommt dann dazu dass diese kerne eigenwerte sind. also wäre 3 gezeigt.
und die zweite aussage? ja die dimension der eigenwerte ungleich null passen ja schonmal (algebraische = geometrische vielfachheit) und die Dimension zu [mm] \lambda [/mm] = 0 muss auch passen weil es sich ja gerade um den Hauptraum handelt oder liege ich da falsch? und dann folgt das aus dem Satz der Hauptraumzerlegung oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 Di 23.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du dir das nochmal durchlesen und ir dabei vorstellen, du würdest das deinem Prof erzählen ?
Besonders freut er sich über :"das gerade die eigenwerte sind die kerne"
Weisst du, was der Kern einer Abb. ist?
Gruss leduart
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oh tut mir leid, dass war wohl nen bisschen spät gestern abend :(
danke für eure Mühe
also was ich meinte:
Die besagten Kerne oben sind ja gerade die Eigenräume zu den Eigenwerten 0;1;-1 und dadurch dass die nicht leer sind, folgt daraus, dass 0;1;-1 Eigenwerte sind.
aber mir fällt auch noch eine andere Argumentation ein:
Dadurch, dass [mm] x^2*(x+E)*(x-E) [/mm] = 0 gilt, weiß man, dass das Minimalpolynom entweder genauso oder halt x*(x+E)*(x-E) = 0 ist, weil es ja das kleinste annulierende Polynom ist. Und die Nullstellen des Minimalpolynoms sind gerade die des Charakteristischen Polynoms --> 0;1;-1 sind die Eigenwerte.
Annahme man wäre jetzt im 4 dimensionalen Vektorraum, dann gäbe es 2 verschiedene Möglichekeiten der Jordanschen Normalform:
[mm] \pmat{ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &0& -1 }
[/mm]
für das Minimalpolynom mit 0 als doppelter Nullstelle
oder
[mm] \pmat{ 0 & 0 &0 &0\\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &0& -1 }
[/mm]
für das Minimalpolynom mit 0 als einfacher Nullstelle
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Hallo,
> also was ich meinte:
> Die besagten Kerne oben
Wo? (Mach es doch denen, die Dir antworten sollen, etwas bequem... Aber ich erinnere mich an die Kerne...)
> sind ja gerade die Eigenräume zu
> den Eigenwerten 0;1;-1
Nein. [mm] Kern\phi^2 [/mm] ist nicht in jedem Fall der Eigenraum zum Eigenwert 0.
> und dadurch dass die nicht leer
> sind,
???
Wie sollte ein Raum leer sein? Und ein Eigenraum ist noch etwas voller als gerade mal nichtleer...
> und dadurch dass die nicht leer
> sind,
> folgt daraus, dass 0;1;-1 Eigenwerte sind.
Ich kann nicht richtig folgen.
> aber mir fällt auch noch eine andere Argumentation ein:
Wofür jetzt eigentlich genau?
> Dadurch, dass [mm]x^2*(x+E)*(x-E)[/mm] = 0 gilt,
Was meinst Du mit x? [mm] \phi [/mm] ?
> weiß man,
> dass
> das Minimalpolynom entweder genauso oder halt x*(x+E)*(x-E) = 0 ist,
Siehst Du, was hier nicht stimmt?
> weil es ja das kleinste annulierende Polynom ist.
> Und die Nullstellen des Minimalpolynoms sind gerade die des
> Charakteristischen Polynoms
Ja.
Wenn der Vektorraum V, in dem [mm] \phi [/mm] abbildet, die Dimension 4 hat, dann muß [mm] \Chi(x)=x^2*(x+1)*(x-1) [/mm] das charakteristische Polynom sein,
als Minimalpolynom käme zusätzlich noch m(x)=x*(x+1)*(x-1) infrage.
Aber wenn die Dim des zugrundeliegenden Vektorraumes z.B. nur 2 ist?
> --> 0;1;-1 sind die
> Eigenwerte.
>
> Annahme man wäre jetzt im 4 dimensionalen Vektorraum, dann
> gäbe es 2 verschiedene Möglichekeiten der Jordanschen
> Normalform:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &0& -1 }[/mm]
>
> für das Minimalpolynom mit 0 als doppelter Nullstelle
>
> oder
>
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 &0 &0\\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &0& -1 }[/mm]
>
> für das Minimalpolynom mit 0 als einfacher Nullstelle
>
Ja.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> > also was ich meinte:
> > Die besagten Kerne oben
>
> Wo? (Mach es doch denen, die Dir antworten sollen, etwas
> bequem... Aber ich erinnere mich an die Kerne...)
>
> > sind ja gerade die Eigenräume zu
> > den Eigenwerten 0;1;-1
>
> Nein. [mm]Kern\phi^2[/mm] ist nicht in jedem Fall der Eigenraum zum
> Eigenwert 0.
--> Stimmt, das ist natürlich der Hauptraum zum Eigenwert 0
>
> > und dadurch dass die nicht leer
> > sind,
>
> ???
> Wie sollte ein Raum leer sein? Und ein Eigenraum ist noch
> etwas voller als gerade mal nichtleer...
--> da verstehe ich nicht so ganz
> > und dadurch dass die nicht leer
> > sind,
> > folgt daraus, dass 0;1;-1 Eigenwerte sind.
>
> Ich kann nicht richtig folgen.
>
>
>
>
> > aber mir fällt auch noch eine andere Argumentation ein:
>
> Wofür jetzt eigentlich genau?
--> gute Frage.. die Prüfungsfrage ist ja gerade erzählen sie mir was ihnen dazu so einfällt
>
> > Dadurch, dass [mm]x^2*(x+E)*(x-E)[/mm] = 0 gilt,
>
> Was meinst Du mit x? [mm]\phi[/mm] ?
-->JA
>
>
> > weiß man,
> > dass
> > das Minimalpolynom entweder genauso oder halt x*(x+E)*(x-E)
> = 0 ist,
>
> Siehst Du, was hier nicht stimmt?
--> leider nicht, oder meinst du auch [mm] \Phi [/mm] statt x
>
> > weil es ja das kleinste annulierende Polynom ist.
> > Und die Nullstellen des Minimalpolynoms sind gerade die des
> > Charakteristischen Polynoms
>
> Ja.
>
> > --> 0;1;-1 sind die
> > Eigenwerte.
>
> >
> > Annahme man wäre jetzt im 4 dimensionalen Vektorraum, dann
> > gäbe es 2 verschiedene Möglichekeiten der Jordanschen
> > Normalform:
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &0& -1 }[/mm]
>
> >
> > für das Minimalpolynom mit 0 als doppelter Nullstelle
> >
> > oder
> >
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 0 &0 &0\\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &0& -1 }[/mm]
>
> >
> > für das Minimalpolynom mit 0 als einfacher Nullstelle
> >
>
> Ja.
>
> Gruß v. Angela
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> > Nein. [mm]Kern\phi^2[/mm] ist nicht in jedem Fall der Eigenraum zum
> > Eigenwert 0.
> --> Stimmt, das ist natürlich der Hauptraum zum Eigenwert 0
Ja.
> >
> > > und dadurch dass die nicht leer
> > > sind,
> >
> > ???
> > Wie sollte ein Raum leer sein? Und ein Eigenraum ist
> noch
> > etwas voller als gerade mal nichtleer...
> --> da verstehe ich nicht so ganz
1. Ein Vektorraum kann nicht leer sein.
2. Ein Eigenraum kann nicht nur den Nullvektor enthalten.
>
> > > Dadurch, dass [mm]x^2*(x+E)*(x-E)[/mm] = 0 gilt,
> >
> > Was meinst Du mit x? [mm]\phi[/mm] ?
> -->JA
> > > weiß man,
> > > dass
> > > das Minimalpolynom entweder genauso oder halt x*(x+E)*(x-E)
> > = 0 ist,
Hm. Ich glaube, ich habe zuvor etwas übersehen...
Du hast [mm]\phi^2*(\phi+E)*(\phi-E)[/mm] = 0.
Aber wir wissen doch gar nicht, daß [mm] p(x)=x^2(x+1)(x-1) [/mm] das charakteristische Polynom ist!
Also haben wir fürs Minimalpolynom noch andere Möglichkeiten als die von Dir angegebenen, oder?
(Es war ja zuvor nirgends die Rede davon, daß wir es mit einem vierdimensionalen VR zu tun haben.)
> >
> > Siehst Du, was hier nicht stimmt?
> --> leider nicht, oder meinst du auch [mm]\Phi[/mm] statt x
Nein. Im Minimalpolynom hat E nichts zu suchen, und "=0" paßt eigentlich auch nicht richtig.
Gruß v. Angela
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> > > Nein. [mm]Kern\phi^2[/mm] ist nicht in jedem Fall der Eigenraum zum
> > > Eigenwert 0.
> > --> Stimmt, das ist natürlich der Hauptraum zum
> Eigenwert 0
>
> Ja.
>
> > >
> > > > und dadurch dass die nicht leer
> > > > sind,
> > >
> > > ???
> > > Wie sollte ein Raum leer sein? Und ein Eigenraum ist
> > noch
> > > etwas voller als gerade mal nichtleer...
> > --> da verstehe ich nicht so ganz
>
> 1. Ein Vektorraum kann nicht leer sein.
> 2. Ein Eigenraum kann nicht nur den Nullvektor enthalten.
>
>
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> >
> > > > Dadurch, dass [mm]x^2*(x+E)*(x-E)[/mm] = 0 gilt,
> > >
> > > Was meinst Du mit x? [mm]\phi[/mm] ?
> > -->JA
>
>
> > > > weiß man,
> > > > dass
> > > > das Minimalpolynom entweder genauso oder halt x*(x+E)*(x-E)
> > > = 0 ist,
>
> Hm. Ich glaube, ich habe zuvor etwas übersehen...
>
> Du hast [mm]\phi^2*(\phi+E)*(\phi-E)[/mm] = 0.
>
> Aber wir wissen doch gar nicht, daß [mm]p(x)=x^2(x+1)(x-1)[/mm] das
> charakteristische Polynom ist!
> Also haben wir fürs Minimalpolynom noch andere
> Möglichkeiten als die von Dir angegebenen, oder?
>
> (Es war ja zuvor nirgends die Rede davon, daß wir es mit
> einem vierdimensionalen VR zu tun haben.)
-->ja das Minimalpolynom muss aber gerade diese 3 Nullstellen haben, die Veilfachheit wissen wir nicht, kriegt man die denn irgendwie raus? und vorallem wie wenn ich nicht wissen darf dass der VR 4-dimensional ist.
dann sind ja tausend verschiedene Möglichkeiten möglich, also mit unterschiedlichen Vielfachheiten der Nullstellen.
>
>
> > >
> > > Siehst Du, was hier nicht stimmt?
> > --> leider nicht, oder meinst du auch [mm]\Phi[/mm] statt x
>
> Nein. Im Minimalpolynom hat E nichts zu suchen, und "=0"
> paßt eigentlich auch nicht richtig.
-->okay versteh ich...
>
> Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> >
> > > > Nein. [mm]Kern\phi^2[/mm] ist nicht in jedem Fall der Eigenraum zum
> > > > Eigenwert 0.
> > > --> Stimmt, das ist natürlich der Hauptraum zum
> > Eigenwert 0
> >
> > Ja.
> >
> > > >
> > > > > und dadurch dass die nicht leer
> > > > > sind,
> > > >
> > > > ???
> > > > Wie sollte ein Raum leer sein? Und ein Eigenraum
> ist
> > > noch
> > > > etwas voller als gerade mal nichtleer...
> > > --> da verstehe ich nicht so ganz
> >
> > 1. Ein Vektorraum kann nicht leer sein.
> > 2. Ein Eigenraum kann nicht nur den Nullvektor
> enthalten.
> >
> >
> >
> > >
> > > > > Dadurch, dass [mm]x^2*(x+E)*(x-E)[/mm] = 0 gilt,
> > > >
> > > > Was meinst Du mit x? [mm]\phi[/mm] ?
> > > -->JA
> >
> >
> > > > > weiß man,
> > > > > dass
> > > > > das Minimalpolynom entweder genauso oder halt x*(x+E)*(x-E)
> > > > = 0 ist,
> >
> > Hm. Ich glaube, ich habe zuvor etwas übersehen...
> >
> > Du hast [mm]\phi^2*(\phi+E)*(\phi-E)[/mm] = 0.
> >
> > Aber wir wissen doch gar nicht, daß [mm]p(x)=x^2(x+1)(x-1)[/mm] das
> > charakteristische Polynom ist!
> > Also haben wir fürs Minimalpolynom noch andere
> > Möglichkeiten als die von Dir angegebenen, oder?
> >
> > (Es war ja zuvor nirgends die Rede davon, daß wir es mit
> > einem vierdimensionalen VR zu tun haben.)
> -->ja das Minimalpolynom muss aber gerade diese 3
> Nullstellen haben,
Nein, das stimmt nicht. z.B. gilt für [mm] $\Phi= [/mm] id$ natürlich [mm] \Phi^4=\Phi^2, [/mm] aber 0 ist kein Eigenwert von [mm] \Phi.
[/mm]
Noch ein Beispiel: ist [mm] \Phi [/mm] idempotent, also [mm] \Phi^2= \Phi, [/mm] so ist ebenfalls [mm] \Phi^4=\Phi^2, [/mm] aber -1 ist kein eigenwert von [mm] \Phi
[/mm]
Ist [mm] \Phi^2= -\Phi, [/mm] so ist ebenfalls [mm] \Phi^4=\Phi^2, [/mm] aber 1 ist kein eigenwert von [mm] \Phi
[/mm]
FRED
> die Veilfachheit wissen wir nicht,
> kriegt man die denn irgendwie raus? und vorallem wie wenn
> ich nicht wissen darf dass der VR 4-dimensional ist.
> dann sind ja tausend verschiedene Möglichkeiten möglich,
> also mit unterschiedlichen Vielfachheiten der Nullstellen.
>
> >
> >
> > > >
> > > > Siehst Du, was hier nicht stimmt?
> > > --> leider nicht, oder meinst du auch [mm]\Phi[/mm] statt x
> >
> > Nein. Im Minimalpolynom hat E nichts zu suchen, und "=0"
> > paßt eigentlich auch nicht richtig.
> -->okay versteh ich...
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
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Jau da hast du natürlich recht... hm
Also wenn ich jetzt nochmal zusammenfasse, wieweit ich jetzt bin... das minimalpolynom kann die nullstelllen -1;1;0 haben, was dann auch die eigenwerte wären, wobei die vielfachheit von den drei Nullstellen /in {0;1;...;n} ist
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> Jau da hast du natürlich recht... hm
>
> Also wenn ich jetzt nochmal zusammenfasse, wieweit ich
> jetzt bin... das minimalpolynom kann die nullstelllen
> -1;1;0 haben, was dann auch die eigenwerte wären, wobei
> die vielfachheit von den drei Nullstellen /in {0;1;...;n}
> ist
Hallo,
und die Summe der Vielfachheiten im Minimalpolynom ist [mm] \le [/mm] n - sofern Du mit n die Dimension des Vektorraumes meinst.
Mal so grob:
[mm] \phi^4=\phi^2 [/mm] <==> [mm] \phi^2(\phi -E)(\phi+E)=0.
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist also Nullstelle des Polynoms [mm] p(x)=x^2(x-1)(x+1).
[/mm]
Jetzt könntest Du das Minimalpolynom ins Spiel bringen, danach das charakteristische,
vielleicht damit glänzen, daß Du den Satz von Hamilton-Cayley kennst und weißt, daß er so heißt,
etwas über mögliche Eigenwerte erzählen.
Vielleicht fragen sie Dich dann, wie's in einem vierdimensionalen VR ausschauen würde, und dann wärest Du bald bei der JNF.
Du mußt keinen langen Vortrag abspulen, der Prüfer wird immer wieder weiterführende Fragen stellen, Dich in die ihm passende Richtung lenken - und Dich auch darauf hinweisen, wenn Du etwas nicht bedacht hast, was meist kein Drama ist,wenn einem schnell einfällt, was weshalb verkehrt war.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 23.03.2010 | | Autor: | HansPeter |
Wunderbar.... danke für eure hilfe..... jetzt sind mir wirklich paar sachen klarer geworden und denke dass ich das ganz gut veratanden habe... und danke fü die allgemeinen tips bzgl der prüfung....
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