mult. inverse und ordnungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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2 Fragen:
1. Was ist das Multiplikative Inverse von [26] in [mm] \IZ_{7}[/mm]
2.a) bestimmte die Ordnungen der vier Elemente in [mm] \IZ_{4}[/mm] und der vier Elemente in [mm] \IZ_{5}[/mm]
b)Geben sie einen Isomorphismus zwischen [mm] \IZ_{4}[/mm] und [mm] \IZ_{5}[/mm] |
<br>Hallo, das sind jetzt zwei Aufgaben auf einmal, aber ich denke meine Fragen bzw. Hürden halten sich in Grenzen
Bei 1. würde ich jetzt den GGT(26,7) berechnen und den euklidischen ALgorithmus rückwärts ausführen um auf 1= 26x+7y zu kommen.
Was mich hier nur wundert ist, dass in eienr Lösung die mir vorliegt die Rechnung mit (-7) statt 7 ausgeführt wurde, was dann natürlich zur Folge hat, dass ich ein anderes inverses Element heraus habe, nämlich 2 statt 3. Habe ich da irgendwo noch einen Verständnisfehler?
2a) Die Ordnung wird ja definiert über [mm]a^{m}[/mm] =e
Wäre die Ordnung bei [mm]\IZ_{4} =4 und bei \IZ_{5} auch 4[/mm] ich habe nur so eine grobe Vorstellung wie man das Ganze dann endgültig ausrechnen sollte.
b) da habe ich irgendwie keine Ahnung wie ich das angehen soll. Ein Isomorphismus ist ja eine bijektive Abbildung zwischen zwei Gruppen
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> 2 Fragen:
> 1. Was ist das Multiplikative Inverse von [26] in [mm]\IZ_{7}[/mm]
> 2.a) bestimmte die Ordnungen der vier Elemente in [mm]\IZ_{4}[/mm]
> und der vier Elemente in [mm]\IZ_{5}[/mm]
> b)Geben sie einen Isomorphismus zwischen [mm] \IZ_{4}[/mm] und
> [mm]\IZ_{5}[/mm]
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> <br>Hallo, das sind jetzt zwei Aufgaben auf einmal, aber
> ich denke meine Fragen bzw. Hürden halten sich in Grenzen
>
> Bei 1. würde ich jetzt den GGT(26,7) berechnen und den
> euklidischen ALgorithmus rückwärts ausführen um auf 1=
> 26x+7y zu kommen.
> Was mich hier nur wundert ist, dass in eienr Lösung die
> mir vorliegt die Rechnung mit (-7) statt 7 ausgeführt
> wurde, was dann natürlich zur Folge hat, dass ich ein
> anderes inverses Element heraus habe, nämlich 2 statt 3.
> Habe ich da irgendwo noch einen Verständnisfehler?
>
Bei so einer kleiner Zahl wie 7 kommt man am besten durch Nachdenken auf die Inverse oder durch Probieren. Was ist denn 26? Das ist 5. Und was ist 5 mal 3? Das ist 15 und 15 ist 1.
> 2a) Die Ordnung wird ja definiert über [mm]a^{m}[/mm] =e
> Wäre die Ordnung bei [mm]\IZ_{4} =4 und bei \IZ_{5} auch 4[/mm]
> ich habe nur so eine grobe Vorstellung wie man das Ganze
> dann endgültig ausrechnen sollte.
Jedes Element hat eine eigene Ordnung. Die additive 0 hat immer die Ordnung 1. Die multiplikative 1 auch. Übrigens wirst du hier nicht [mm] \IZ^_{5} [/mm] meinen, sondern die Einheitengruppe davon. Somit erklärt sich auch b). Es handelt sich um zyklische Gruppen. Du musst nur einen Erzeuger auf einen der anderen Gruppe abbilden und der Rest ergibt sich dadurch. Erzeuger sind Elemente maximaler Ordnung.
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> b) da habe ich irgendwie keine Ahnung wie ich das angehen
> soll. Ein Isomorphismus ist ja eine bijektive Abbildung
> zwischen zwei Gruppen
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Wie du das mit dem inversen meinst, habe ich nicht so recht verstanden. Nach dem hier: http://wwwlehre.dhbw-stuttgart.de/~lichtens/Referate/WS2009/Handout_MultInv.pdf
müßte ich das aber mit dem GGT machen, zumal ich jetzt auch nicht genau verstanden habe, was genau dein inverses sein soll?
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> Wie du das mit dem inversen meinst, habe ich nicht so recht
> verstanden. Nach dem hier:
> http://wwwlehre.dhbw-stuttgart.de/~lichtens/Referate/WS2009/Handout_MultInv.pdf
> müßte ich das aber mit dem GGT machen, zumal ich jetzt
> auch nicht genau verstanden habe, was genau dein inverses
> sein soll?
Wie ist denn das multiplikativ Inverse definiert? Das Inverse von a ist dadurch charaktersiert, dass es eindeutig ist mit der Eigenschaft $ a b = 1 $. Dann schreibt man $ b = [mm] a^{-1} [/mm] $.
Nun gilt $ 26 [mm] \equiv [/mm] 5 \ mod \ 7 $, sodass wir das multiplikativ inverse von $ 5 \ mod \ 7 $ suchen. Dies ist die eindeutige Zahl $ b [mm] \in \{1,...,6\} [/mm] $ mit $ 5 b [mm] \equiv [/mm] 1 \ mod \ 7 $. Man kann alle Zahlen mal durchgehen und wird feststellen, dass 3 es tut.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:54 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Grapadura |
Ah jetzt habe ich es denke ich verstanden.
Also kann ich bei diesen Fragen mit dem Modulo arbeiten.
Ich war nur verwirrt, da mit dem GGT gearbeitet wurde und hierbei mit (-7) und kann mir nach wie vor nicht erklären, weshalb (-7) verwendet wird in der Rechnung, aber dann eben das richtige Ergebnis nämlich 3 heraus kommt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Grapadura |
Hat sich erledigt, ich habe den Fehler gefunden, eine Klammer wurde falsch aufgelöst.. Zum Haare raufen.
Die Frage kann also auslaufen
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Ich habe jetzt mal mit den Ordnungen überlegt und bin auf folgendes Ergebnis für [mm] \IZ_{4}[/mm] gekommen:
[mm] \IZ_{4}[/mm] besteht ja aus den Elementen 0,1,2,3
Die Ordnung von 0 ist 1 da 0+0=0 also 1mal findet das statt
Für 1 habe ich die Ordnung: 1+1+1+1=0 also 3
für 2 habe ich 2+2 = 0 also 1
und bei 3 wäre das 3+3+3=0 also ordnung 2
wäre das so korrekt?
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Die Ordnung von a ist nicht die Anzahl der Additionen (also +-Zeichen in der Rechung), sondern die Anzahl der a, die addiert werden müssen, um auf 0 zu kommen.
> Ich habe jetzt mal mit den Ordnungen überlegt und bin auf
> folgendes Ergebnis für [mm]\IZ_{4}[/mm] gekommen:
> [mm]\IZ_{4}[/mm] besteht ja aus den Elementen 0,1,2,3
> Die Ordnung von 0 ist 1 da 0+0=0 also 1mal findet das
> statt
> Für 1 habe ich die Ordnung: 1+1+1+1=0 also 3
Entsprechend ist die Ordnung von 1 nicht 3.
> für 2 habe ich 2+2 = 0 also 1
Und die der 2 auch nicht 1. Nur das neutrale Element hat die Ordnung 1!
> und bei 3 wäre das 3+3+3=0 also ordnung 2
Ich weiß nicht, wie du hier überhaupt draufkommst, dass $3+3+3=9=0 $ sein sollte...
> wäre das so korrekt?
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ok dann wäre meine Ordnung für 1 dann 4, bei 2 wäre es die 2
und bei der 3 hatte ich gedacht, dass ich es so oft addiere, bis ich mit rest 0 quasi rauskomme, also soviele runden um den block drehe, bis ich bei der startposition bin, oder habe ich mich verrechnet bzw es falsch gemacht?
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> ok dann wäre meine Ordnung für 1 dann 4, bei 2 wäre es
> die 2
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> und bei der 3 hatte ich gedacht, dass ich es so oft
> addiere, bis ich mit rest 0 quasi rauskomme, also soviele
> runden um den block drehe, bis ich bei der startposition
> bin, oder habe ich mich verrechnet bzw es falsch gemacht?
Und seit wann ist 9 mit Rest 0 durch 4 teilbar?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Grapadura |
ja ok ist ein rechenfehler gewesen :-D
das wäre dann 3+3+3+3=0 also hat 3 die ordnung 4
vielen dank für deine hilfe
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