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Forum "Algebra" - multiplicty free decomposition
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multiplicty free decomposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Do 25.05.2017
Autor: noglue

Aufgabe
[mm] "GL(n)\otimes [/mm] GL(m). Here we consider the action [mm] G=GL(n,\IC)\times GL(m,\IC) [/mm] on [mm] \IC^n\otimes\IC^m [/mm] via the outer tensor product of the defining representations for the two factors. Identifying [mm] \IC^n\otimes\IC^m [/mm] with the space [mm] M(n\times [/mm] m, [mm] \IC) [/mm] one has

[mm] (g,g')*v=gv(g')^t [/mm] "

Hallo zusammen,

ich bin mir nicht sicher, ob ich hier in diesen Forum richtig bin, aber da es sich um Mathematik handeln, hoffe ich, dass Ihr mir da weiterhelfen könnt.

Ich habe einige Verständnisfragen zu diesem einen Teil des Artikels (s. oben in Aufgabenstellung)

ist mit
[mm] GL(n)\otimes [/mm] GL(m), dass jeweils auf eine Matrix [mm] A\in [/mm] GL(n) und [mm] B\in [/mm] GL(m) das Tensorprodukt angewendet wird? [mm] (A\otimes [/mm] B)

Und was ist mit dieser Schreibweise [mm] \IC[M(n,m;\IC)] [/mm] der Polynomring gemeint? Könnt Ihr mir da evtl. ein Beispiel geben?

Und was sagt diese Operation: [mm] (g,g')*v=gv(g')^t [/mm] ?

Ist mit (g,g') ein Vektor gemeint bzw. mit v? Sind g,g' Elemente aus G?

Dasselbe für [mm] S^2(GL(n)) [/mm] "We consider the action of [mm] GL(n,\IC) [/mm] on the 2-tensors [mm] S^2(\IC^2) [/mm] via the symmetric square of the defining representation."

heißt das, dass wir eine Matrix A betrachten, diese aus [mm] GL(n,\IC) [/mm] ist mit der Bedingung, dass [mm] A^t=A [/mm] ist?

Was ist mit "2-tensors" gemeint ?

Wie könnte man "multiplicity free" ins Deutsche übersetzen?

Evtl. sind einige meine Fragen "dumm", aber ich möchte es wirklich verstehen, daher hoffe ich, dass Ihr verständnis dafür habt.

Dankeschön im Voraus!




        
Bezug
multiplicty free decomposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Fr 26.05.2017
Autor: UniversellesObjekt


> [mm]"GL(n)\otimes[/mm] GL(m).

> Here we consider the action
> [mm]G=GL(n,\IC)\times GL(m,\IC)[/mm] on [mm]\IC^n\otimes\IC^m[/mm] via the
> outer tensor product of the defining representations for
> the two factors. Identifying [mm]\IC^n\otimes\IC^m[/mm] with the
> space [mm]M(n\times[/mm] m, [mm]\IC)[/mm] one has
> [mm](g,g')*v=gv(g')^t[/mm] "
>  Hallo zusammen,
>  
> ich bin mir nicht sicher, ob ich hier in diesen Forum
> richtig bin, aber da es sich um Mathematik handeln, hoffe
> ich, dass Ihr mir da weiterhelfen könnt.
>  
> Ich habe einige Verständnisfragen zu diesem einen Teil des
> Artikels (s. oben in Aufgabenstellung)
>  
> ist mit
>  [mm]GL(n)\otimes[/mm] GL(m), dass jeweils auf eine Matrix [mm]A\in[/mm]
> GL(n) und [mm]B\in[/mm] GL(m) das Tensorprodukt angewendet wird?
> [mm](A\otimes[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

B)

${GL}(m)$ wirkt auf $\IC^m$, ${GL](n)$ wirkt auf $\IC^n$. Also wirkt das Produkt $GL(m)\times GL(N)$ auf $\CL^m\otimes\CL^n$ durch $(A,B)\odot (v\otimes w)=Av\otimes Bw$ auf reinen Tensoren.

> Und was ist mit dieser Schreibweise [mm]\IC[M(n,m;\IC)][/mm] der
> Polynomring gemeint? Könnt Ihr mir da evtl. ein Beispiel
> geben?

Damit ist der Matrizenraum der [mm] $n\times [/mm] m$-Matrizen gemeint. Ein Beispiel ist [mm] $M(2,5;\IC)$. [/mm]

> Und was sagt diese Operation: [mm](g,g')*v=gv(g')^t[/mm] ?
>  
> Ist mit (g,g') ein Vektor gemeint bzw. mit v? Sind g,g'
> Elemente aus G?

$(g,g')$ ist ein Element aus [mm] $GL(m)\times [/mm] GL(n)$. Diese Gruppe wirkt wie oben auf [mm] $\IC^m\otimes\IC^n$. [/mm] Dieser Raum ist isomorph zu [mm] $M(m,n;\IC)$. [/mm] Ist dir klar wie? Das sollte es sein. Also hat man eine induzierte Wirkung auf den Matrizen; wie die aussieht, steht dort, [mm] $v\in M(m,n,\IC)$. [/mm]  

> Dasselbe für [mm]S^2(GL(n))[/mm] "We consider the action of
> [mm]GL(n,\IC)[/mm] on the 2-tensors [mm]S^2(\IC^2)[/mm] via the symmetric
> square of the defining representation."

Steht da nicht [mm] $S^2(\IC^n)$? [/mm] Ein

> heißt das, dass wir eine Matrix A betrachten, diese aus
> [mm]GL(n,\IC)[/mm] ist mit der Bedingung, dass [mm]A^t=A[/mm] ist?

> Was ist mit "2-tensors" gemeint ?

Ein $p$-Tensor in einem Vektorraum $V$ ist für gewöhnlich ein Element von [mm] $V^{\otimes p}$, [/mm] dem $p$-fachen Tensorprodukt. Er heißt symmetrisch, wenn er invariant unter Permutationen [mm] $\sigma\in S_p$ [/mm] bleibt (diese Gruppe wirkt auf [mm] $V^{\otimes p}$. [/mm] Im Fall $p=2$ ist hier natürlich nur die Vertauschung der ersten und der zweiten Komponente auf reinen Tensoren von Bedeutung.

> Wie könnte man "multiplicity free" ins Deutsche
> übersetzen?

"Ohne Vielfachheit".

> Evtl. sind einige meine Fragen "dumm", aber ich möchte es
> wirklich verstehen, daher hoffe ich, dass Ihr verständnis
> dafür habt.
>  
> Dankeschön im Voraus!
>
>
>  

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
multiplicty free decomposition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Fr 26.05.2017
Autor: noglue

vielen vielen dank!:)

Bezug
        
Bezug
multiplicty free decomposition: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:36 So 04.06.2017
Autor: noglue

Aufgabe
The diagonal action of [mm] GL(n,\IC) [/mm] on [mm] \IC^n\oplus \Lambda^2(\IC^n) [/mm] is multiplicity free. Moreover
[mm] \IC[\C^n\oplus \Lambda^2(\IC^n)]\cong\bigoplus_{\mu\ge 0}"\omega^\mu [/mm]

as a [mm] GL(n,\IC)-modle. [/mm] That is, everyy non-negative highest weight occurs in [mm] \IC[\IC^n\otimes \Lambda^2(\IC^n)] [/mm] with multiplicity one"

Hallo zusammen,

leider nicht noch einige weitere Fragen zu diesem Thema aufgetaucht.
ich hoffe, Ihr könnt mir da weiterhelfen trotz technischen Fehlers bzw. das nicht Anzeigen der Formeln.


[mm] \IC^n\otimes \Lambda^2(\IC^n) [/mm] drückt einfach aus, dass der Operator der direkten Summe das Paar [mm] (\IC^n, \Lambda^2(\IC^n)) [/mm] einen VR [mm] \IC^n [/mm] und [mm] \Lambda^2(\IC^n) [/mm] einen drittes VR [mm] \IC^n\otimes \Lambda^2(\IC^n) [/mm] zu, oder?

Sind die Abb. von [mm] \Lambda^2(\IC^n) [/mm] folg. aus:

[mm] (\IC^n)^{\*}\times (\IC^n)^{\*}\rightarrow \IC? [/mm]

Stimmt das? Damit ist das äußere Produkt gemeint.

warum ist
[mm] \IC[\C^n\oplus \Lambda^2(\IC^n)] [/mm] isomorph zu [mm] \bigoplus_{\mu\ge 0}"\omega^\mu? [/mm]

Wie kann man auf diese Menge die Äquivalenzklassen betrachten?

Ich weiß, dass jeder Rang einer Äquivalenzklasse hat.
Nehmen wir z.B. [mm] \IC^{n\times m}. [/mm] Dann kann die Matrix nur folgenden Rang annehmen:
0,1,...,n-1,n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1 Aquivalenzklassen.

Aber da bei unserem Fall die Matrizen aus [mm] GL(n,\IC), [/mm] also invertierbar sind und somit vollen Rang haben müssen, gibt es nur eine Aquivalentklasse, oder?

Wie sehen die Bahnen aus?

Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar.

Bezug
                
Bezug
multiplicty free decomposition: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 08.06.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
multiplicty free decomposition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Fr 09.06.2017
Autor: noglue

Kann mir da wirklich niemand helfen?

Bezug
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