n-Bernoulli, p verschieden < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Seien [mm] Z_1, [/mm] ..., [mm] ZV_N [/mm] N verschiedene unabhängige bernoulli verteilte Zufallsvariablen, aber mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten.
[mm] Z_i [/mm] ist definiert durch:
[mm] Z_i=\left\{\begin{matrix}
x_i, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit }\mbox{ p} \\
0, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit }\mbox{ 1-p}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Für den Erwartungswert für [mm] Z_i [/mm] gilt, dass [mm] E[Z_i] [/mm] >0 für alle i.
Weiter seien Faktoren 0 [mm] \le a_i \le [/mm] 1 mit:
[mm] \summe_{i=1}^{N} a_i [/mm] = 1.
und die Funktion f = [mm] \summe_{i=1}^N a_i*Z_i [/mm]
definiert.
Nun soll der f maximiert werden, aber so dass
mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \alpha, [/mm] f nicht kleiner
als 0.8 ist.
Hintergrund: Die Zufallsvariablen stellen Auftragsgewinne
da, 1-p jeder Zufallsvariable [mm] Z_i [/mm] das Ausfallrisiko. Nun will ich das Gesamtausfallrisko mit Wahrscheinlichkeit [mm] \alpha [/mm] auf 0.8 begrenzen, gleichzeitig den Gewinn maximieren. Ich dachte ich könnte f durch ein lineares Programm maximimieren und das Risko durch die NB begrenzen. Das Problem sind aber die unterschiedlichen
[mm] p_i [/mm] der [mm] ZV_i, [/mm] sonst könnte man die Binomialverteilung
nehmen. Im Prinzip ist das Problem ähnlich dem Problem
der Gesamtwahrscheinlichkeit von Kreditausfallrisken bei
Banken. Allerdings möchte ich in meinem Fall keine Abhängigkeiten der [mm] ZV_i [/mm] betrachten. Mein Problem ist also
viel einfacher. Bisher fällt mir nur ein, alle Möglichkeiten kombinatorisch zu betrachten. Aber da komme ich auch nicht weiter. Hat jemand eine Idee? Bitte gnädig sein. Ich bin schon 7 Jahre aus der Uni. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Mo 13.09.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
aus deiner Beschreibung geht nicht ganz hervor ob du Bernoulli-ZV's mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten willst, wie du schreibst oder ob du ZV's willst die entweder 0 oder [mm] x_i [/mm] mit jeweiligen W-keiten 1-p und p willst wie du symbolisch darstellst. (?)
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Wasserman |
Hallo Vivo,
es muss natürlich [mm] p_i [/mm] heissen. Also ZVs von Bernoulli mit unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeiten.
Grüsse.> Hallo,
>
> aus deiner Beschreibung geht nicht ganz hervor ob du
> Bernoulli-ZV's mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten
> willst, wie du schreibst oder ob du ZV's willst die
> entweder 0 oder [mm]x_i[/mm] mit jeweiligen W-keiten 1-p und p
> willst wie du symbolisch darstellst. (?)
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mo 13.09.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also nehmen wir mal N=2, dann
[mm] $f=a_1+a_2 \hbox{ mit W-keit } p_1p_2$ \\
[/mm]
[mm] $f=a_1 \hbox{ mit W-keit } p_1(1-p_2)$ \\
[/mm]
[mm] $f=a_2 \hbox{ mit W-keit } (1-p_1)p_2$ \\
[/mm]
$f=0 [mm] \hbox{ mit W-keit } (1-p_1)(1-p_2)$ \\
[/mm]
meinst du es so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Wasserman |
Hallo Vivo,
genau so wie du beschrieben hast, setzt sich der Gewinn zusammen.
Zwei Ideen kamen mir noch, die eine ist die Quantile über die
Cornish Fisher Expansion zu bestimmen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Cornish-Fisher-Methode
und dann über Second order Cone programming zu optimieren:
http://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_cone_programming
ich habe aber ein ungutes Gefühl, dass muss doch wesentlich einfacher gehen.
Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Di 14.09.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
willst du die [mm] a_i's [/mm] eigentlich so wählen dass f größtmöglich wird oder willst du den Erwartungswert von f maximieren?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Di 14.09.2010 | | Autor: | Wasserman |
Hallo,
ich möchte den Erwartungswert maximieren.
Grüße!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Di 14.09.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier rein.
Hoffe das hilft.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 27.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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