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| Aufgabe | Seien f und g n-mal differenzierbare Funktionen, zeigen sie das gilt:
[mm] (fg)^{n}= \sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*f^{k}(x)*g^{n-k}(x) [/mm] |
Hey
ich hänge gerade bei dieser Aufgabe. In meinem Ansatz habe ich versucht diese Gleichung mit dem binomischen Lehrsatz zu vergleichen. Allerdings komme ich nicht wirklich weiter. Da sich vorallem die linke Seite unterscheidet, da hier multipliziert und nicht addiert wird. Meine Idee wäre sonst gewesen:
[mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*f^{k}(x)*g^{n-k}(x)= (f(x)+g(x)^{n}
[/mm]
Auch die Induktion hilft mir hier nicht weiter. Da ich ja nichtmals weiß, ob [mm] f^{n+1}(x) [/mm] existiert
Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen 
Danke schon mal
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 13.04.2014 | | Autor: | hippias |
Nur zur Sicherheit: Es geht hier um Ableitungen, nicht um Potenzen. Auch wenn die Summe an die binomische Formel erinnert, hat es nichts mit [mm] $(f+g)^{n}$ [/mm] zu tun. Zur besseren Unterscheidung schreibt man fuer die $n$-te Ableitung [mm] $f^{(n)}$.
[/mm]
Induktion duerfte trotzdem sehr schoen funktionieren. Deine Bedenken, dass in der Voraussetzung nur $n$-malige Differenzierbarkeit vorausgestzt sind, koennen zerstreut werden, denn wenn Du den Induktionsschritt bei einer Induktion nach dem Grad der Differenzierbarkeit durchfuehrst, dann geht es ja nach Voraussetzung um $n+1$-mal differenzierbare Funktionen.
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Hey
mit der Induktion erhalte ich:
[mm] (fg)^{(n+1)}= sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}f^{(k)}(x)*g^{(n+1-k)}(x)
[/mm]
jetzt weiß ich allerdings nicht genau wie ich die Induktionsvorschrift anwenden soll.. denn wenn ich :
[mm] (fg)^{(n+1)} [/mm] auseinanderpflücke (darf man das?) zu:
[mm] (fg)^{(n)}*(fg)^{(1)}
[/mm]
erhalte ich ja:
[mm] (sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}f^{(k)}(x)*g^{(n-k)}(x) [/mm] ) * (1* [mm] f(x)*g^{(2)}(x) [/mm] )
und das bringt mich ja auch nicht weiter :-(
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 13.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey
> mit der Induktion erhalte ich:
> [mm](fg)^{(n+1)}= sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}f^{(k)}(x)*g^{(n+1-k)}(x)[/mm]
>
> jetzt weiß ich allerdings nicht genau wie ich die
> Induktionsvorschrift anwenden soll.. denn wenn ich :
> [mm](fg)^{(n+1)}[/mm] auseinanderpflücke (darf man das?) zu:
> [mm](fg)^{(n)}*(fg)^{(1)}[/mm]
> erhalte ich ja:
> [mm](sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}f^{(k)}(x)*g^{(n-k)}(x)[/mm] ) *
> (1* [mm]f(x)*g^{(2)}(x)[/mm] )
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> und das bringt mich ja auch nicht weiter :-(
Klar, es geht ja auch um Differentiation und nicht Potenzierung: siehe meinen vorherige Antwort.
>
>
> LG
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Hey
aber wie soll ich denn besipielsweise die Ableitung von den Binomialkoeffizienten bilden?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 13.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Binomialkoeffizienten sind Zahlen, warum willst du die ableiten. Du hast
[mm] (fg)^{(n)} [/mm] das leitest du einmal ab, indem du die Summanden ableitest.
Gruss leduart
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Hey
wie genau ist das gemeint.
Also soll ich [mm] \sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}*f^{(k)}(x)*g^{(n-k)}(x)
[/mm]
ableiten? Aber wie soll das funktionieren? Ich habe doch gar keine Exponenten :-(
Ich habe mir jetzt den ganzen gestrigen Abend Gedanken darüber gemacht, komme aber leider nicht wirklich weiter
LG
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Hallo,
du solltest erstmal ein paar Grundlagen durcharbeiten, wie Summen und Faktorregel sowie Schreibweisen rund um Differenzialrechnung. Sowie insbesondere die Produktregel. Die Ableitung etwa von [mm] f^{(k)} [/mm] ist dann schlicht und ergreifend [mm] f^{(k+1)}.
[/mm]
Gruß, Diophant.
PS: insgesamt ziehst du aus den gegebenen Hinweisen viel zu wenig Information heraus. Lies die Antworten gründlicher durch und versuche, eigenständiger zu arbeiten!
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