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| Aufgabe | Für n-mal differenzierbare Funktionen f,g gilt die Leibnizregel
[mm] (fg)^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}g^{(n-k)} [/mm]
[mm] f^{0} [/mm] := f
Beweise! |
-> vollständige Induktion
I.Anfang geschafft
Induktionsannahme:
[mm] (fg)^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}g^{(n-k)} [/mm]
Induktionsschluss n -> n+1
[mm] (fg)^{(n+1)} =((fg)^{(n)})' [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}g^{(n-k)}) [/mm] '
Wie kann ich nun die gesamte Summe nochmals differenzieren?
oder ist es einfacher:
$ [mm] (fg)^{(n+1)}= ((fg)')^{(n)}= (f'g+fg')^{(n)}= (f'g)^{(n)}+(fg')^{(n)} [/mm] $
Da stecke ich aber auch ;(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe einfach gliedweise differenzieren
das ist dasselbe wie wenn du unten in deine formel cdie summen einsetzt.
Gruss leduart
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okay hab ich und dann summe auf zwei summen aufgespalten.
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k+1)} [/mm] * [mm] g^{(n-k)} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)} [/mm] * [mm] g^{(n-k+1)}
[/mm]
Aber wie weiter??
LG
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> okay hab ich und dann summe auf zwei summen aufgespalten.
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} f^{(k+1)}[/mm] * [mm]g^{(n-k)}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} f^{(k)}[/mm] * [mm]g^{(n-k+1)}[/mm]
Hallo,
das ist richtig. Schreib aber bitte die komplette Gleichung hin, damit man alles auf einen Blick sieht.
>
> Aber wie weiter??
Weiter solltest Du nun mal das tun, was Du bisher versäumt hast: schreib auf, was Du zeigen möchtest im Induktionsschritt.
Wenn man das Ziel kennt, erreicht man es meist leichter.
Du wirst verwenden müssen, daß [mm] \binom{n+1}{k} [/mm] = [mm] \binom{n}{k-1} [/mm] + [mm] \binom{n}{k} [/mm] , und Du wirst die Indizes verschieben müssen.
LG Angela
>
> LG
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Induktionsannahme:
$ [mm] (fg)^{(n)} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}g^{(n-k)} [/mm] $
Induktionsschluss n -> n+1
$ [mm] (fg)^{(n+1)}= ((fg)')^{(n)}= (f'g+fg')^{(n)}= (f'g)^{(n)}+(fg')^{(n)} [/mm] $
= $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k+1)} [/mm] $ * $ [mm] g^{(n-k)} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)} [/mm] $ * $ [mm] g^{(n-k+1)} [/mm] $
= $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k+1)} [/mm] $ * $ [mm] g^{(n-k)} [/mm] $ + [mm] f^{(0)}g^{(n+1)}+ [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)} [/mm] $ * $ [mm] g^{(n-k+1)} [/mm] $
Ich wieß nicht wie ich den ersten Teil auf [mm] \vektor{n \\k-1 } [/mm] bringe.
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> Induktionsannahme:
> [mm](fg)^{(n)}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\
k} f^{(k)}g^{(n-k)}[/mm]
Hallo,
die Summation muß doch ab k=0 laufen.
>
> Induktionsschluss n -> n+1
Nochmal: Du solltest im Induktionsschluß immer hinschreiben, was Du zeigen willst - für Dich und für die, die es lesen.
>
> [mm](fg)^{(n+1)}= ((fg)')^{(n)}= (f'g+fg')^{(n)}= (f'g)^{(n)}+(fg')^{(n)}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} f^{(k+1)}[/mm] * [mm]g^{(n-k)}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} f^{(k)}[/mm] * [mm]g^{(n-k+1)}[/mm]
Der Schritt von der ersten zur zweiten Zeile ist unschön, denn Du übernimmst hier ja nicht die Induktionsvoraussetzung 1:1, sondern bereits eine Folgerung daraus.
Du hattest im ersten Versuch besser angefangen:
> Induktionsschluss n -> n+1
> $ [mm] (fg)^{(n+1)} =((fg)^{(n)})' [/mm] $
Ind.vor. verwenden:
> = $ [mm] (\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}g^{(n-k)}) [/mm] $ '
Nun die Summenregel verwenden und in den Summanden die Produktregel. Ergibt
...=$ [mm] \summe_{k=0}^{n}( \vektor{n \\ k} f^{(k+1)}g^{(n-k)}+f^{(k)}g^{(n-k+1)}) [/mm] $
=$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} f^{(k+1)}g^{(n-k)}+\summe_{k=0}^{n}f^{(k)}g^{(n-k+1)}) [/mm] $
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} f^{(k+1)}[/mm] * [mm]g^{(n-k)}[/mm] + [mm]f^{(0)}g^{(n+1)}+[/mm] [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\
k} f^{(k)}[/mm] * [mm]g^{(n-k+1)}[/mm]
>
> Ich wieß nicht wie ich den ersten Teil auf [mm]\vektor{n \\
k-1 }[/mm]
> bringe.
>
Mach eine Indexverschiebung, indem Du statt von 0 bis n von 1 bis n+1 summierst:
= [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n \\ k-1} f^{(k)}$ [/mm] * [mm] $g^{(n-(k-1))}$ [/mm] + [mm] $f^{(0)}g^{(n+1)}+$ $\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(k)}$ [/mm] * [mm] $g^{(n-k+1)}$
[/mm]
Ich denke, jetzt wirst Du weiterkommen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Sa 14.01.2012 | | Autor: | theresetom |
Ich danke dir.
Liebe Grüße
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