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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - n-te Einheitswurzeln
n-te Einheitswurzeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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n-te Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Mi 15.02.2012
Autor: georg1982

Aufgabe
Gegeben ist die Gleichung
[mm] $z^5=1024$ [/mm]
a) zeigen Sie das die Gleichung [mm] $z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}} [/mm] eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.
b)Bestimmen Sie eine weitere Lösung [mm] $z_1$ [/mm] der obigen Gleichung [mm] $(z_1\not=4, z_1\not=z_0)$ [/mm]


Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?
Was kann ich aus dem Hinweis [mm] $(z_1\not=4, z_1\not=z_0)$ [/mm] herauslesen


        
Bezug
n-te Einheitswurzeln: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:45 Mi 15.02.2012
Autor: al3pou


> Gegeben ist die Gleichung
> [mm]z^5=1024[/mm]
>  a) zeigen Sie das die Gleichung [mm]$z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}[/mm]
> eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.
>  b)Bestimmen Sie eine weitere Lösung [mm]z_1[/mm] der obigen
> Gleichung [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
>  
> Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?

Also es geht um komplexe Zahlen und du sollst ja eine
Lösung für die Gleichung

   [mm] z^{5} [/mm] = 1024

finden. Da z potenziert wurde und du ja das einfache z
haben willst wirst du wohl die Wurzel ziehen müssen, was
uns zum Ansatz für deine Aufgabe bringt:

Wurzel ziehen komplexer Zahlen!

>  Was kann ich aus dem Hinweis [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
> herauslesen
>  

Also erstmal sollst du eine weitere Lösung für die
Gleichung finden. Die Lösung wird mit [mm] z_{1} [/mm] bezeichnet und
[mm] z_{1} [/mm] darf halt nicht = 4 sein und auch nicht das schon
bekannte Ergebnis, aber weil es viele Lösungen gibt, beim
Wurzel ziehen komplexer Zahlen sollte das kein Problem
werden.

Gruß
al3pou

Bezug
        
Bezug
n-te Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Mi 15.02.2012
Autor: fred97


> Gegeben ist die Gleichung
> [mm]z^5=1024[/mm]
>  a) zeigen Sie das die Gleichung [mm]$z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}[/mm]
> eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.
>  b)Bestimmen Sie eine weitere Lösung [mm]z_1[/mm] der obigen
> Gleichung [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
>  
> Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?

Zu a) :  einfach nachrechnen: [mm] z_0^5=1024. [/mm] Benutze hierbei die Regel [mm] (e^a)^n= e^{n*a} [/mm]

Zu b):  Mache den Ansatz: [mm] z_1= 4e^{it} [/mm]

dann: [mm] z_1^5=1024*e^{i5t} [/mm]

Das liefert: [mm] e^{i5t}=1 [/mm] und somit:  [mm] t=\bruch{2 k \pi}{5} [/mm]  mit k [mm] \in \IZ [/mm]

Nun such Dir ein geeignetes k aus.

FRED

>  Was kann ich aus dem Hinweis [mm](z_1\not=4, z_1\not=z_0)[/mm]
> herauslesen
>  


Bezug
        
Bezug
n-te Einheitswurzeln: eigene Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:19 Mi 15.02.2012
Autor: georg1982

So ich hab mal etwas herum gerechnet, weiß aber nicht ob meine Lösung so. Richtig ist.

[mm] $z^5=1024$ [/mm] Hier fehlt noch das Argument [mm] ($e^{it}$) [/mm] mit [mm] $t=\frac{2k\pi}{n}$ [/mm] und $n=5$
das forme ich also um zu
[mm] $z^5=4^5\cdot e^{it}^5$ [/mm]
[mm] $z^5=1024\cdot e^{i5t}$ [/mm]
hieraus ziehe ich die 5. Wurzel
[mm] $\sqrt[5]{z}=4\cdot e^{i5t}^\frac{1}{5}$ [/mm]
das wird dann zu
[mm] $\sqrt[5]{z}=4\cdot e^{i\frac{2k\pi}{5}}$ [/mm] da sich die $5$ herauskürzt

dann gehe ich weiter indem ich für $k$ die Zahlen $0, 1, 2, 3 , 4$ alle zahlen von $0, 1, ... n-1$ einsetze und z entsprechend indiziere
damit komme ich dann auf
[mm] $z_0=4\cdot e^{i\frac{2\cdot0\pi}{5}}=4\cdot e^{i0}=4$ [/mm]
in der Aufgabenstellung Steht das [mm] $z_0=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}$ [/mm] ist mache ich hier was falsch?

wenn weiter rechne dann komme ich auf folgende Lösungen
[mm] $z_1=4\cdot e^{i\frac{2\pi}{5}}$ [/mm]
[mm] $z_2=4\cdot e^{i\frac{4\pi}{5}}$ [/mm]
[mm] $z_3=4\cdot e^{i\frac{6\pi}{5}}$ [/mm] Ist damit a) bewiesen?
[mm] $z_4=4\cdot e^{i\frac{8\pi}{5}}$ [/mm]
[mm] $z_5=4\cdot e^{i\pi}$ [/mm] Das entspricht ja wieder [mm] $z_0$ [/mm] weil wir einen vollen Kreis herum gegangen sind.

für eine Klausuraufgabe erscheint mir das etwas wenig. kann aber auch sein das es nur eine 8 Punkte Aufgabe ist

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