n-te Einheitswurzeln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Uzaku |
| Aufgabe | | Geben sie für die Körper [mm] GF(5^2) [/mm] und [mm] GF(2^5) [/mm] jeweils alle n [mm] \in \IN [/mm] an, für die es eine primitive n-te Einheitswurzel in dem Körper gibt. Bestimmen sie anschließend für jede dieser Zahlen n die Anzahl verschiedener primitver n-ter Einheitswurzeln in dem Körper. |
Hi,
was mir klar ist, ist, dass für die Einheitswurzeln nur n's in Frage kommen, die 24 bzw 31 Teilen, und wenn ich mich nicht irre dürfte in [mm] GF(5^2) [/mm] auch jedes Element außer der 1 eine 31. Einheitswurzel sein (oder?). Aber in [mm] GF(5^2) [/mm] sieht das anders aus.
Ich habe einfach mal angefangen zu gucken, und mir jede zahl angeschaut, 4 ist primitive 2te einheitswurzel, 2 und 3 sind primitiver 4te Einheitswurzeln.
Und dann dachte ich, ich wäre fertig, weil ja [mm] \IZ_{5} [/mm] und dann fiel mir ein, dass ich die ganzen polynome vergessen hatte. Da ich nun nicht das Bedürfnis verspüre 20 Polynome zu potensieren, bis 1 raus kommt, aber auch im Netz nichts anderes gefunden habe, wollte ich euch mal Fragen, ob es vielleicht ein allgemeines Verfahren gibt, um in einem Körper [mm] GF(p^k) [/mm] alle primitivern n-ten Einheitswurzeln zu finden.
gruß Uzaku
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Hallo Uzako,
um alle primitiven n-ten Einheitswurzeln zu finden genügt es eine zu finden.
Es ist ja $ [mm] \mathbb Z/(p^l-1)\mathbb [/mm] Z [mm] \to GF(p^l)^\ast [/mm] $, $k [mm] \mapsto g^k$
[/mm]
(g ein beliebiger Erzeuger der zyklischen Gruppe) ein Isomorphismus.
Daher genügt es nun die Elemente in $ [mm] \mathbb Z/(p^l-1)\mathbb [/mm] Z $ mit Ordnung n zu finden.
Da du die 4.ten EW bereits gefunden kann man auch so vorgehen, dass man Elemente sucht deren Quadrat pri. 4.te EW sind.
Das sind dann gerade die 8.ten EW.
Edit: Typo in der Abbildung ausgebessert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Uzaku |
Hey, danke für deine Antwort, ich verstehe sie allerdings nicht ganz. Was heißt $ [mm] \mathbb Z/(p^l-1)\mathbb [/mm] Z [mm] \to GF(p^l) [/mm] $ ?
Es wäre nett, wenn du das nochmal ausformulieren würdest.
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Das ist eine Abbildung, genauer sogar (wie geschrieben) sogar ein Gruppenisomorphismus.
Was ist denn daran genau unklar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Uzaku |
Unklar is die Bedeutung des geschriebenen, für mich sieht das so aus, als Teilst du einen Zalhenbereich durch [mm] (p^l [/mm] -1) und multiplizierst ihn dann wieder drann? und bildest das dann auf [mm] GF(p^l) [/mm] ab ? Und das l ist mir auch nicht klar, ist das jetzt einfach = k , also die Potenz der Primzahl?
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Notation 1:
https://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring
Wobei mich das massiv wundert dass das nicht bekannt ist.
Wie konstruiert ihr denn z.B. GF(4)?
Bei der Abb. ist mir tatsächlich ein Fehler unterlaufen es muss so heißen:
$ [mm] \mathbb Z/(p^l-1)\mathbb [/mm] Z [mm] \to GF(p^l)^\ast [/mm] $, $ k [mm] \mapsto g^k [/mm] $
Und nein l ist nicht gleich k, wieso sollte das auch so sein?
Dann wär das doch hier keine Abbildung.
[mm] $GF(p^l)$ [/mm] ist ein Körper mit [mm] $p^l$ [/mm] Elementen, dabei ist p eine Primzahl l eine natürliche Zahl. Normalerweise nimmt man n aber das war hier ja schon belegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Uzaku |
Ok, danke für die Antwort. Ich kann mich nicht mehr konzentrieren und werde mir das Morgen nochmal anschauen. Aber vielen Dank nochmal.
PS: GF(4) würde ich alternativ so schreiben: [mm] \IZ_{2}[x]/f(x) [/mm] | grad(f(x)) = 2 und f(x) irreduziebel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Fr 19.07.2013 | | Autor: | sometree |
Dann hat dir jemand eine leider immer weiter um sich greifende ungünstige Notation begebracht ohne die eigentliche Standardnotation zu erwähnen.
[mm] $\mathbb [/mm] Z / n [mm] \mathbb [/mm] Z$ ist der Restklassenring modulo [mm] $\mathbb [/mm] Z$
(was ja auch netterweise durch die Notation ausgedrückt wird), den ihr wohl [mm] $\mathbb [/mm] Z _n$ schreibt.
Das hat so schöne Nachteile wie, die überscheidung der Notation für p-adische ganze Zahlen:
https://de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahl
Und Restklassenringe und p-adische zahlen tauchen gern mal in ähnlichem Kontext auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Uzaku |
Also, wenn ich das richtig verstehe, dann sagst du, dass man (beispielsweise) [mm] \IZ_{24} [/mm] bzw. [mm] \IZ/24\IZ [/mm] auf die Multiplikative Gruppe von GF(25) abbilden kann, in dem man ein erzeugendes Element von GF(25) mit 0 bis 23 Potentiert?
Wie hilft mir das jetzt dabei n-te Einheitswurzeln zu finden?
Ich mein Erzeugende Elemente sind ja schonmal nur die prim. 24ten Ew. und davon habe ich noch keine einzige gefunden.
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Laut deiner Aufgabenstellung suchst du die Anzahl der n-ten EW nicht die n-ten EW konkret. (Letzteres ist ein deutlich schwierigeres Problem.)
Der angegebene Isomorphismus verlagert dein Problem vom Finden n-ter EW zum Suchen von Elementen der Ordnung n in einer gegbenen Gruppe.
Für den Iso. müssen wir auch keine 24-EW finden, wir brauchen nur das Wissen dass es eine gibt.
Du musst also keine n-ten EW angeben oder suchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Uzaku |
Oh mann, da studiert man schon Informatik, und kann trotzdem nicht richtig lesen ... peinlich.
Vielen Dank für dein Hilfe, ich muss sagen, dass deine Antwort mir bei der wirklichen Aufgabenstellung (im gegensatz zur verstandenen) viel Zeit sparen wird :)
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