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| Aufgabe | Es sei f : [mm] \IR [/mm] [mm] \to[/mm] [mm] \IR [/mm] mit der Abbildungsvorschrift x [mm] \mapsto [/mm] x+3. Bestimmen sie die Abbildungsvorschrift der Abbildung
[mm] f^n [/mm] := [mm] f\circ f\circ...\circ [/mm] f (n-mal)
und beweisen sie durch vollständige Induktion, das ihre Angabe korrekt ist. |
Hallo! Ich bin neu hier, sorry wenn ich daher etwas nicht so gut aufgeschrieben habe, ich lerne das aber noch =)
Ich habe in der Suche nichts gefunden zu solch einer Aufgabe und hoffe ihr könnt mir vll etwas helfen.
Ich wollte gerne wissen, ob mein Lösungsweg so okay ist, oder ob ich etwas vergessen habe oder Fehler darin sind. Hier mein Beweis:
Es wird definiert: [mm] f^1 [/mm] = f, [mm] f^n [/mm] = [mm] f\circ f^{n-1} [/mm] für [mm] n\in\IR [/mm]
Zu zeigen ist durch vollständige Induktion:
[mm] f^n [/mm] = [mm] \IR [/mm] [mm] \to[/mm] [mm] \IR [/mm], x [mm] \mapsto (x+3)^n
[/mm]
Setze [mm] n_0 [/mm] = 1
IndAnfang: Für n = 1 ist [mm] f^1 [/mm] = f die Abbildung [mm] \IR [/mm] [mm] \to[/mm] [mm] \IR [/mm], x [mm] \mapsto [/mm] x+3 und die Aussage ist gültig
IndSchritt: Annahme: Aussage sei richtig für n [mm] \ge [/mm] 1
IndVorr.: [mm] f^n [/mm] ist die Abbildung [mm] \IR [/mm] [mm] \to[/mm] [mm] \IR [/mm], x [mm] \mapsto (x+3)^n
[/mm]
Zu zeigen: IndBeh.: [mm] f^{n+1} [/mm] ist die Abbildung [mm] \IR [/mm] [mm] \to[/mm] [mm] \IR [/mm], x [mm] \mapsto (x+3)^{n+1} [/mm] (n+1-mal)
Sei [mm] f^{n+1} [/mm] = f [mm] \circ f^n [/mm] ; für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt also:
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = (f [mm] \circ f^n)(x) [/mm] = [mm] f(f^n(x)) [/mm] = (nach IndVorr.) [mm] f(x+3)^n [/mm] = (nach Def. von f) [mm] (x+3)^{n+1}
[/mm]
Ist der Beweis damit gegeben oder habe ich etwas vergessen, was ich vielleicht noch dazu schreiben sollte oder ist gar etwas falsch??
Vielen Dank für die Hilfe! =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Sa 11.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Es sei f : [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR[/mm] mit der Abbildungsvorschrift x
> [mm]\mapsto[/mm] x+3. Bestimmen sie die Abbildungsvorschrift der
> Abbildung
> [mm]f^n[/mm] := [mm]f\circ f\circ...\circ[/mm] f (n-mal)
> und beweisen sie durch vollständige Induktion, das ihre
> Angabe korrekt ist.
> Hallo! Ich bin neu hier, sorry wenn ich daher etwas nicht
> so gut aufgeschrieben habe, ich lerne das aber noch =)
> Ich habe in der Suche nichts gefunden zu solch einer
> Aufgabe und hoffe ihr könnt mir vll etwas helfen.
>
> Ich wollte gerne wissen, ob mein Lösungsweg so okay ist,
> oder ob ich etwas vergessen habe oder Fehler darin sind.
> Hier mein Beweis:
>
> Es wird definiert: [mm]f^1[/mm] = f, [mm]f^n[/mm] = [mm]f\circ f^{n-1}[/mm] für
> [mm]n\in\IR[/mm]
> Zu zeigen ist durch vollständige Induktion:
> [mm]f^n[/mm] = [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR [/mm], x [mm]\mapsto (x+3)^n[/mm]
Hallo,
wenn die einmalige Abbildung in einer "Verschiebung" der x-Werte um 3 Einheiten besteht, dann hat man bei n-maliger Anwendung dieser Abbildung eine Verschiebung um 3*n.
Das [mm] (x+3)^n [/mm] ist also Unfug.
Gruß Abakus
> Setze [mm]n_0[/mm] = 1
>
> IndAnfang: Für n = 1 ist [mm]f^1[/mm] = f die Abbildung [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR [/mm],
> x [mm]\mapsto[/mm] x+3 und die Aussage ist gültig
>
> IndSchritt: Annahme: Aussage sei richtig für n [mm]\ge[/mm] 1
>
> IndVorr.: [mm]f^n[/mm] ist die Abbildung [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR [/mm], x [mm]\mapsto (x+3)^n[/mm]
>
> Zu zeigen: IndBeh.: [mm]f^{n+1}[/mm] ist die Abbildung [mm]\IR[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR [/mm],
> x [mm]\mapsto (x+3)^{n+1}[/mm] (n+1-mal)
> Sei [mm]f^{n+1}[/mm] = f [mm]\circ f^n[/mm] ; für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt also:
> [mm]f^{n+1}(x)[/mm] = (f [mm]\circ f^n)(x)[/mm] = [mm]f(f^n(x))[/mm] = (nach
> IndVorr.) [mm]f(x+3)^n[/mm] = (nach Def. von f) [mm](x+3)^{n+1}[/mm]
>
> Ist der Beweis damit gegeben oder habe ich etwas vergessen,
> was ich vielleicht noch dazu schreiben sollte oder ist gar
> etwas falsch??
> Vielen Dank für die Hilfe! =)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Es sei f : $ [mm] \IR [/mm] $ $ [mm] \to [/mm] $ $ [mm] \IR [/mm] $ mit der Abbildungsvorschrift x $ [mm] \mapsto [/mm] $ x+3. Bestimmen sie die Abbildungsvorschrift der Abbildung
$ [mm] f^n [/mm] $ := $ [mm] f\circ f\circ...\circ [/mm] $ f (n-mal)
und beweisen sie durch vollständige Induktion, das ihre Angabe korrekt ist. |
Vielen Dank für die Antwort. Nun ein zweiter Versuch.
Hab nun etwas leicht anderes gemacht:
Betrachte die Abb. f:[mm] \IR [/mm] [mm] \to[/mm] [mm] \IR [/mm], x [mm] \mapsto [/mm] x+3
Definiere [mm] f^1=f [/mm] , [mm] f^n=f\circ f^{n-1} [/mm] für [mm] n\in\IR [/mm] , n > 1
Gezeigt wird durch vollst. Ind.:
[mm] f^n [/mm] ist folgende Abb.: R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto [/mm] x+3n
Setze [mm] n_0 [/mm] = 1
IA: Für n = 1 ist [mm] f^1 [/mm] = f die Abb. R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto [/mm] x+3 und die Aussage gilt
IS: Angenommen, die Aussage gilt auch für n [mm] \ge [/mm] 1 , d.h (IV): [mm] f^n [/mm] ist die Abb. R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto [/mm] x+3n
Es gilt zu zeigen:
IndBeh.: [mm] f^{n+1} [/mm] ist die Abb. R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto [/mm] x+3n+1
[mm] f^{n+1} [/mm] = [mm] f\circ f^n; [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt also:
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = (f [mm] \circ f^n)(x) [/mm] = [mm] f(f^n(x)) [/mm] = (IV) f(x+3n) = (def. von f) (x+3n)+1 = (Assoziativität "+") x+(3n+1)
Ist es nun vielleicht richtig? Oder habe ich schon wieder einen Fehler eingebaut?
-KleinKati
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Huhu Kati,
> Ist es nun vielleicht richtig? Oder habe ich schon wieder
> einen Fehler eingebaut?
Leider ja.
> Es gilt zu zeigen:
> IndBeh.: [mm]f^{n+1}[/mm] ist die Abb. R [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto[/mm] x+3n+1
Nein, hier hast du eine Klammer vergessen!
Es ist zu zeigen:
[mm]f^{n+1}[/mm] ist die Abb. R [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto[/mm] x+3(n+1)
>
> [mm]f^{n+1}[/mm] = [mm]f\circ f^n;[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt also:
> [mm]f^{n+1}(x)[/mm] = (f [mm]\circ f^n)(x)[/mm] = [mm]f(f^n(x))[/mm] = (IV) f(x+3n)
Bis hierhin korrekt.
> = (def. von f) (x+3n)+1
Seit wann lautet die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] x+1$ ?
MFG,
Gono.
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