n-te Wurzel Ungleichung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wie kann ich folgende Ungleichung zeigen?
[mm] \wurzel[n]{n}\le1-\bruch{2}{n}+\bruch{2}{\wurzel{n}}
[/mm]
Ich habe leider bis jetzt nichts rausbekommen.? Mir fehlt wohl die richtige Idee oder so. -.-
Lg, David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:32 Sa 09.07.2011 | | Autor: | DM08 |
z.z. [mm] \wurzel[n]{n}\le1-\bruch{2}{n}+\bruch{2}{\wurzel{n}}\ \forall\ n\in\IN.
[/mm]
Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n.
Hier musst du beim Induktionsschritt die Wurzelfunktion gut umformen, sodass du deine Induktionsvorraussetzung benutzen darfst.
Ich empfehle dir eher zuvor die folgende Gleichung zu zeigen [mm] :\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1.
[/mm]
Damit ist die zu zeigende Gleichung trivial zu zeigen.
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Sa 09.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> z.z. [mm]\wurzel[n]{n}\le1-\bruch{2}{n}+\bruch{2}{\wurzel{n}}\ \forall\ n\in\IN.[/mm]
>
> Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n.
>
> Hier musst du beim Induktionsschritt die Wurzelfunktion gut
> umformen, sodass du deine Induktionsvorraussetzung benutzen
> darfst.
> Ich empfehle dir eher zuvor die folgende Gleichung zu
> zeigen : [mm]\sqrt[n]{n}=1\ \forall\ n\in\IN.[/mm]
Du meinst wohl [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1$,
[/mm]
denn [mm]\sqrt[n]{n}=1\ \forall\ n\in\IN.[/mm] ist falsch, da z.B. [mm] $\wurzel{2} \approx [/mm] 1,41$.
>
> Damit ist die zu zeigende Gleichung trivial zu zeigen.
>
> MfG
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:00 Sa 09.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Danke, habe mich verschrieben.
Habe es editiert.
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Sa 09.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> z.z. [mm]\wurzel[n]{n}\le1-\bruch{2}{n}+\bruch{2}{\wurzel{n}}\ \forall\ n\in\IN.[/mm]
>
> Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n.
>
> Hier musst du beim Induktionsschritt die Wurzelfunktion gut
> umformen, sodass du deine Induktionsvorraussetzung benutzen
> darfst.
> Ich empfehle dir eher zuvor die folgende Gleichung zu
> zeigen [mm]:\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}=1.[/mm]
>
> Damit ist die zu zeigende Gleichung trivial zu zeigen.
Ach was ? Dann mach mal vor !
FRED
>
> MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Fr 15.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
sei [mm] \epsilon_n [/mm] die Folge [mm] \epsilon_n=\bruch{2}{\wurzel{n}}-\bruch{2}{n}. [/mm] Es gilt [mm] \epsilon_n\ge{0}
[/mm]
Betrachte den Ausdruck [mm] (1+\epsilon_n)^n. [/mm] Für den Ausdruck gilt die Abschätzung
[mm] (1+\epsilon_n)^n=\summe_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\epsilon_n^i\ge1+n*\epsilon_n+\bruch{n(n-1)}{2}\epsilon_n^2 [/mm] wegen [mm] \epsilon_n\ge{0} [/mm] und für [mm] n\ge{2}
[/mm]
Weiter gilt
[mm] (1+\epsilon_n)^n-n\ge1+n*\epsilon_n+\bruch{n(n-1)}{2}\epsilon_n^2-n=\bruch{(n-2)(\wurzel{n}-1)^2}{n}\ge{0} [/mm] für [mm] n\ge{2}
[/mm]
Also gilt
[mm] 1+\epsilon_n\ge \wurzel[n]{n} [/mm] und damit die gesuchte Ungleichung. Für n=1 kann man die Ungleichung direkt nachrechnen.
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