n^2-n+41 ist eine Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] n^2 [/mm] - n + 41 eine Primzahl |
Hallo
ich habe versucht die Aufgabe per Induktion zu lösen. Für n = 1 ist es eine Primzahl. Bei dem Induktionsschritt müsste man dann zeigen, dass [mm] n^2 [/mm] + n + 41 eine Primzahl ist, fals [mm] n^2 [/mm] - n + 41 eine ist. Leider komme ich da nicht weiter.
Ich wäre dankbar für einen Tipp ob die Induktion der Richtige weg ist bzw. auf welche Art man die Aufgabe angehen muss.
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Hallo,
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> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]n^2[/mm] - n + 41 eine Primzahl
> Hallo
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> ich habe versucht die Aufgabe per Induktion zu lösen. Für
> n = 1 ist es eine Primzahl. Bei dem Induktionsschritt
> müsste man dann zeigen, dass [mm]n^2[/mm] + n + 41 eine Primzahl
> ist, fals [mm]n^2[/mm] - n + 41 eine ist. Leider komme ich da nicht
> weiter.
> Ich wäre dankbar für einen Tipp ob die Induktion der
> Richtige weg ist bzw. auf welche Art man die Aufgabe
> angehen muss.
Widerlege die Aussage. Oder beweise sie, und die ![[]](/images/popup.gif) Fields-Medaille wäre dir sicher. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 05.09.2013 | | Autor: | fred97 |
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> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]n^2[/mm] - n + 41 eine Primzahl
> Hallo
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> ich habe versucht die Aufgabe per Induktion zu lösen. Für
> n = 1 ist es eine Primzahl. Bei dem Induktionsschritt
> müsste man dann zeigen, dass [mm]n^2[/mm] + n + 41 eine Primzahl
> ist, fals [mm]n^2[/mm] - n + 41 eine ist. Leider komme ich da nicht
> weiter.
> Ich wäre dankbar für einen Tipp ob die Induktion der
> Richtige weg ist bzw. auf welche Art man die Aufgabe
> angehen muss.
Diophant hats schon gesagt: es gibt natürliche Zahlen n, für die [mm] n^2-n+41 [/mm] keine(!) Primzahl ist.
Wie findet man ein solches n ?
Tipp 1: Es ist [mm] n^2-n+41= [/mm] n(n-1)+41.
Tipp 2: Sind a, b und c natürliche Zahlen und teilt c sowohl a als auch b, so teilt c auch die Summe a+b.
Nun hab ich aber mit einem ganzen Gartenzaun gewunken !
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Do 05.09.2013 | | Autor: | abakus |
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> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]n^2[/mm] - n + 41 eine Primzahl
Hallo,
es gibt eine (sehr naheliegende) natürliche Zahl n>1, für die dein Term [mm] $n^2-n+41$ [/mm] durch 41 teilbar ist.
Gruß Abakus
> Hallo
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> ich habe versucht die Aufgabe per Induktion zu lösen. Für
> n = 1 ist es eine Primzahl. Bei dem Induktionsschritt
> müsste man dann zeigen, dass [mm]n^2[/mm] + n + 41 eine Primzahl
> ist, fals [mm]n^2[/mm] - n + 41 eine ist. Leider komme ich da nicht
> weiter.
> Ich wäre dankbar für einen Tipp ob die Induktion der
> Richtige weg ist bzw. auf welche Art man die Aufgabe
> angehen muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 05.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
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>
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]n^2[/mm] - n + 41 eine Primzahl
nach der Fülle an bisherigen Antworten hier noch eine:
Betrachte $n [mm] \in [/mm] 41 [mm] \IN:=\{41m:\;\; m \in \IN\}.$
[/mm]
Und weil's so schön ist:
[mm] $n^2-n+41=(n-1)^2+40+n\,.$
[/mm]
Setze dort auch mal [mm] $n=42\,$ [/mm] ein. (Naheliegend?)
Edit: Wegen Freds Umformung
[mm] $n^2-n+41=n(n-1)+41$
[/mm]
liegt es auch nahe, mal $n [mm] \in 1+41\IN:=\{1+41m:\;\;m \in \IN\}$ [/mm] zu betrachten.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Do 05.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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das Wort schreibt man übrigens so:
widerlegen
Gruß,
Marcel
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