n Bernoulli-Experimente < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 18.01.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Es werden n Bernoulliexperimente unabhängig voneinander durch geführt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit im i-ten Experiment [mm] p_i\in[0,1] [/mm] ist, für [mm] 1\le i\le [/mm] n. Sei X die Gesamtzahl der Erfolge in diesen n Experimenten.
(a) Modellieren Sie das Experiment.
(b) Berechnen Sie E(X) und V(X).
(c) Sei n fest und sei [mm] p\in [/mm] (0,1) eine fest gewählte "mittlere Erfolgswahrscheinlichkeit". Bestimmen
Sie [mm] p_1,\dots,p_n [/mm] mit [mm] \frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}p_i [/mm] = p, so dass V(X) maximal wird. |
Hallo.
Zu (a):
Ich habe hier Schwierigkeiten mit dem Zufallsvariable(n). Die Bestandteile der Modellierung sind bei uns der Grundraum [mm] \Omega, [/mm] die Zufallsvariable X und die Verteilung, die m.E. so aussehen müssten
[mm] $\Omega=\{0,1\},$ X_i:\Omega\to\IR [/mm] unabhängige ZV mit [mm] X_i\sim Bin(1,p_i) [/mm] für [mm] i=1,\dots,n.
[/mm]
Was aber ist dann X? Ist es einfach X=k, [mm] k=1,\dots,n, [/mm] Anzahl der Erfolge, oder sowas wie [mm] X=X_1+\dots+X_n? [/mm] Also wie X aussieht weiss ich nicht, denn ich muss ja den Erwartungswert berechnen, was ich dann über [mm] E(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}^{.}x\cdot{}P(X=x) [/mm] machen würde.
Bitte um Korrektur und Hilfestellung!
gruß triad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Fr 18.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Hallo.
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> Zu (a):
>
>
>
> Was aber ist dann X? Ist es einfach X=k, [mm]k=1,\dots,n,[/mm]
> Anzahl der Erfolge, oder sowas wie [mm]X=X_1+\dots+X_n?[/mm]
Genau richtig.
> Also
> wie X aussieht weiss ich nicht, denn ich muss ja den
> Erwartungswert berechnen, was ich dann über
> [mm]E(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}^{.}x\cdot{}P(X=x)[/mm] machen
> würde.
>
Kennst du nicht die alte Bauernregel, wonach fuer ZVen $X,Y$ gilt [mm] $\operatorname{E}[X+Y]=\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[Y]$ [/mm] ?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 18.01.2013 | | Autor: | triad |
> Moin
>
> > Hallo.
> >
> > Zu (a):
> >
> >
> >
> > Was aber ist dann X? Ist es einfach X=k, [mm]k=1,\dots,n,[/mm]
> > Anzahl der Erfolge, oder sowas wie [mm]X=X_1+\dots+X_n?[/mm]
>
> Genau richtig.
>
> > Also
> > wie X aussieht weiss ich nicht, denn ich muss ja den
> > Erwartungswert berechnen, was ich dann über
> > [mm]E(X)=\summe_{x\in X(\Omega)}^{.}x\cdot{}P(X=x)[/mm] machen
> > würde.
> >
> Kennst du nicht die alte Bauernregel, wonach fuer ZVen [mm]X,Y[/mm]
> gilt
> [mm]\operatorname{E}[X+Y]=\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[Y][/mm]
> ?
>
> vg Luis
>
Jup danke, Du hast Recht. Ich war nur ein wenig wegen den Zufallsvariablen verwirrt, aber jetzt ist alles klar.
Ich setze [mm] X:=\sum_{i=1}^{n}X_i, [/mm] was der Anzahl an Erfolgen in n Experimenten entspricht, wenn [mm] X_i=\begin{cases} 1 & \mbox{Erfolg im i-ten Experiment} \\ 0 & \mbox{Misserfolg im i-ten Experiment} \end{cases}
[/mm]
Damit ist also [mm] E(X)=E(X_1+\dots+X_n)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\sum_{i=1}^{n}p_i=p_1+\dots+p_n
[/mm]
und wir können die Varianz berechnen zu [mm] V(X)=E(X^2)-E(X)^2=E((\sum_{i=1}^{n}X_i)^2)-(\sum_{i=1}^{n}p_i)^2
[/mm]
oder [mm] V(X)=E[(X-EX)^2]=E[(\sum_{i=1}^{n}X_i-\sum_{i=1}^{n}p_i)^2]
[/mm]
Hm das sieht beides etwas komisch aus, wie kann ich die Varianz berechnen oder muss ich das so stehen lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Fr 18.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, kennst du nicht Satz 67.22 ![[]](/images/popup.gif) hier?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 19.01.2013 | | Autor: | triad |
Hi.
Das heißt, ich sollte nicht mit der Definition der Varianz (Erwartungswert), sondern mit den Rechenregeln arbeiten, ok. Weil die ZV laut Aufgabenstellung unabhängig sind, ist die Varianz dann einfach [mm] V(X)=V(\summe_{i=1}^{n}X_i)=\summe_{i=1}^{n}V(X_i)? [/mm] Und muss man das dann noch weiter ausrechnen wie
[mm] $\summe_{i=1}^{n}V(X_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}E(X_i^2)-E(X_i)^2 [/mm] = [mm] \dots$, [/mm] weil da wüsste ich nicht was der Erw.wert der quadrierten ZVen [mm] E(X_i^2) [/mm] ist. [mm] E(X_i)^2 [/mm] wäre dann jeweils [mm] p_i^2.
[/mm]
Der Erwartungswert [mm] E(X)=E(X_1+\dots+X_n) [/mm] oben stimmt aber so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Sa 19.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hi.
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> Das heißt, ich sollte nicht mit der Definition der Varianz
> (Erwartungswert), sondern mit den Rechenregeln arbeiten,
> ok. Weil die ZV laut Aufgabenstellung unabhängig sind, ist
> die Varianz dann einfach
> [mm]V(X)=V(\summe_{i=1}^{n}X_i)=\summe_{i=1}^{n}V(X_i)?[/mm]
Ja.
> Und
> muss man das dann noch weiter ausrechnen wie
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}V(X_i) = \summe_{i=1}^{n}E(X_i^2)-E(X_i)^2 = \dots[/mm],
> weil da wüsste ich nicht was der Erw.wert der quadrierten
> ZVen [mm]E(X_i^2)[/mm] ist. [mm]E(X_i)^2[/mm] wäre dann jeweils [mm]p_i^2.[/mm]
Wo ist das Problem? [mm] $X_i$ [/mm] ist Bernoulli-verteilt. Folglich: [mm] $V(X_i)=E[(X_i-E(X_i))^2]=(0-p_i)^2P(X_i=0)+(1-p_i)^2P(X_i=1)=\dots$
[/mm]
>
> Der Erwartungswert [mm]E(X)=E(X_1+\dots+X_n)[/mm] oben stimmt aber
> so?
Ja.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 19.01.2013 | | Autor: | triad |
> > Hi.
> >
> > Das heißt, ich sollte nicht mit der Definition der Varianz
> > (Erwartungswert), sondern mit den Rechenregeln arbeiten,
> > ok. Weil die ZV laut Aufgabenstellung unabhängig sind, ist
> > die Varianz dann einfach
> > [mm]V(X)=V(\summe_{i=1}^{n}X_i)=\summe_{i=1}^{n}V(X_i)?[/mm]
>
> Ja.
>
> > Und
> > muss man das dann noch weiter ausrechnen wie
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}V(X_i) = \summe_{i=1}^{n}E(X_i^2)-E(X_i)^2 = \dots[/mm],
> > weil da wüsste ich nicht was der Erw.wert der quadrierten
> > ZVen [mm]E(X_i^2)[/mm] ist. [mm]E(X_i)^2[/mm] wäre dann jeweils [mm]p_i^2.[/mm]
>
> Wo ist das Problem? [mm]X_i[/mm] ist Bernoulli-verteilt. Folglich:
> [mm]V(X_i)=E[(X_i-E(X_i))^2][/mm] = [mm](0-p_i)^2P(X_i=0)+(1-p_i)^2P(X_i=1)=\dots[/mm]
>
Wie kommst du darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 19.01.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Wie kommst du darauf?
>
Nach einer alten Bauernregel wird die Varianz einer diskret verteilten Zufallsvariablen $X$ berechnet nach [mm] $V(X)=\sum_x(x-E(X))^2P(X=x)$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 20.01.2013 | | Autor: | triad |
>
> >
> > Wie kommst du darauf?
> >
>
>
> Nach einer alten Bauernregel wird die Varianz einer diskret
> verteilten Zufallsvariablen [mm]X[/mm] berechnet nach
> [mm]V(X)=\sum_x(x-E(X))^2P(X=x)[/mm].
>
> vg Luis
Hi.
Ich hab nochmal ins Skript geschaut und tatsächlich in der letzten Ecke im letzten Teil einer Bemerkung diese Formel gefunden. Oh man!
Damit kann ich jetzt, nochmal komplett, die Varianz berechnen zu
[mm] V(X)=V(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\sum_{i=1}^{n}V(X_i)=\sum_{i=1}^{n}E[(x-EX_i)^2]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{x\in X_i(\Omega)}^{n}(x-EX_i)^2*P(X_i=x)=\sum_{i=1}^{n}(0-p_i)^2*P(X_i=0)+(1-p_i)^2*P(X_i=1)=\dots
[/mm]
Da z.B. [mm] P(X_i=1) [/mm] für die Wkeit eines Erfolgs im i-ten Experiment steht, kann man dafür [mm] p_i [/mm] einsetzen. Analog [mm] P(X_i=0) \hat= (1-p_i). [/mm] Also
[mm] \dots=\sum_{i=1}^{n}p_i^2*(1-p_i)+(1-p_i)^2*p_i=\sum_{i=1}^{n}p_i^2-p_i^3+p_i-2p_i^2+p_i^3=\sum_{i=1}^{n}p_i-p_i^2=\sum_{i=1}^{n}p_i(1-p_i). [/mm] Weiß man, was diese Summe ergibt?
gruß triad
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
> Weiß man, was diese Summe ergibt?
>
>
Nein, die laesst sich nicht weiter vereinfachen.
vg Luid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 20.01.2013 | | Autor: | triad |
Also dann noch Aufgabenteil c.
> (c) Sei n fest und sei [mm]p\in[/mm] (0,1) eine fest gewählte
> "mittlere Erfolgswahrscheinlichkeit". Bestimmen
> Sie [mm]p_1,\dots,p_n[/mm] mit [mm]\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}p_i[/mm] = p,
> so dass V(X) maximal wird.
Ist es nicht schon die Lösung, wenn ich alle [mm] p_i [/mm] auf [mm] \frac{1}{2} [/mm] setze? Denn dann gilt
[mm] \frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}p_i=\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\frac{1}{2}=\frac{1}{2n}\summe_{i=1}^{n}1=\frac{1}{2n}*n=\frac{1}{2}\in(0,1)
[/mm]
und die Varianz ist maximal, weil das Maximum der aufsummierten Funktion [mm] p_i(1-p_i)=p_i-p_i^2 [/mm] (nach unten geöffnete Parabel) [mm] \frac{1}{4} [/mm] ist und bei [mm] p_i=\frac{1}{2} [/mm] liegt:
[mm] V(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i(1-p_i)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}1=\frac{1}{4}*n=\frac{n}{4}_{\leftarrow} [/mm] bei [mm] Werten$\not=\frac{1}{2}$ [/mm] wird der Nenner nur größer, d.h. die Varianz kleiner.
gruß triad
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 20.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, ich meine, du misstverstehst die vorab gewählte "mittlere Erfolgswahrscheinlichkeit" $p$. Wenn du [mm] $p_i=1/2$ [/mm] setzt, so kann nicht gelten $ [mm] \frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}p_i [/mm] = p$ fuer [mm] $p\ne1/2$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 21.01.2013 | | Autor: | triad |
> Moin, ich meine, du misstverstehst die vorab gewählte
> "mittlere Erfolgswahrscheinlichkeit" [mm]p[/mm]. Wenn du [mm]p_i=1/2[/mm]
> setzt, so kann nicht gelten [mm]\frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}p_i = p[/mm]
> fuer [mm]p\ne1/2[/mm].
>
> vg Luis
hi, also n ist fest und [mm] p\in(0,1) [/mm] ist fest. D.h. ich muss alle [mm] p_i=p [/mm] setzen damit die Gleichung überhaupt erstmal erfüllt ist? Wobei die [mm] p_i [/mm] ja nicht alle gleich sein müssen, es gibt viele Möglichkeiten wie die Summe den Wert p annimmt (z.B. ein [mm] p_i [/mm] kleiner bzw. Null machen, dafür ein anderes proportional dazu größer bzw. doppelt so groß).
Die Varianz war [mm] V(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i(1-p_i) [/mm] und soll jetzt noch maximal sein. Irgendwie komm ich nicht weiter oder verstehe die Aufgabe nicht. Kannst du mir nochmal helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 21.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Mir stellt sich das als eine Optimierungsaufgabe dar: Maximiere $ [mm] V(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i(1-p_i) [/mm] $ unter der NB $ [mm] \frac{1}{n}\summe_{i=1}^{n}p_i [/mm] = p $.
vg Luis
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