n bestimmen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Laut einer Statistik der Polizeit Sprithausen sitzen am Montagmorgen nach dem jährlichen Kürbisfest rund 3% aller Autofahrer mit Restalkohol am Steuer. Wie viele Autofahrer muss der Dorfsheriff anhalten, um mit wenigstens 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens einen angetrunkenen Fahrer zu erwischen? |
Hallo zusammen,
so wie die Aufgabe oben steht, hatte ich keine Probleme.
A: Dorfsheriff erwischt mindestens einen angetrunkenen Fahrer
nicht A: Dorfsheriff erwischt keinen angetrunkenen Fahrer
Rechnung
1-P(nicht [mm] A)^n [/mm] >= 0,90
n >= 75,60
Mir hat sich jetzt die Frage gestellt, wie die Rechnung aussehen würde, wenn die Aufgabenstellung hieße: "Wie viele Autofahrer muss der Dorfsheriff anhalten, um mit wenigstens 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens zwei angetrunkene Fahrer zu erwischen?
Vielen Dank schon einmal im Voraus...
piepmatz92
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Hallo,
das wird natürlich für eine steigende Anzahl Autofahrer immer kniffliger. Jedoch bei zwei Autofahrern sollte es noch möglich sein, so wie im obigen Fall vorzugehen. Du benötigst dabei die von n abhängige Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Autofahrer erwischt wird. Die wiederum setzt sich zusammen aus genau zwei Einzelwahrscheinlichkeiten.
Hilft dir dies weiter?
Gruß, Diophant
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hmmmm, das verstehe ich jetzt nicht soo genau...
Bezieht sich die 3% darauf, dass mindestens 1 alkoholisierter Autofahrer erwischt wird? Oder verstehe ich das falsch? Wenn es stimmt, woran erkenne ich, dass sich die 3% auf MINDESTENS 1 alkoholisierten Autofahrer bezieht?
Das würde doch dann eigentlich bedeuten, wenn ich n dafür bestimmen müsste, dass der Dorfsheriff mindestens 2 alkoholisierte Autofahrer erwischt, dass ich die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 alkoholisierte Autofahrer" benötige, oder?
Oder bringe ich hier grade etwas völlig durcheinander?
DANKE für die schnelle Antwort 
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Hallo,
ein wenig bringst du die Dinge noch durcheinander, ja. Wenn 3% alkoholisiert Auto fahren, so nehmen wir an, dass bei jeder Kontrolle eines Fahrers die Wahrscheinlichkeit, dass er betrunken ist, gleich 3% und die dass er fahrtauglich ist, gleich 97% ist. Damit wird die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Kontrolle von n Fahrern alle nüchtern sind, zu [mm] 0,97^n. [/mm] Damit hast du ja auch (richtig) gerechnet. Es fehlt bloß noch die korrekte Interpretation des Ergebnisses, denn 75,6 Autofahrer, das ergibt keinen Sinn.
So, nun zu deiner Erweiterung des Problems. Deine Vorgehenweise war ja ganz einfach die, über das Gegenereignis zu gehen. Und diese Vorgehensweise lässt sich bis zu einem gewissen Ausmaß auch noch anwenden, wenn man nach mindestens k erwischten Fahrern fragt (k sollte allerdings nicht sehr groß sein, sonst wird das kombinatorisch immer aufwändiger). In unserem Fall ist jetzt k=2. Wir suchen also P(X>=2), oder auf Deutsch: die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei alkoholisierte Fahrer erwischt werden. Dazu musst du nun das Gegenereignis formulieren und dessen Wahrscheinlichkeit bestimmen. Also auf Mathematisch:
P(X>=2)=1-P(X<2)=...
GRuß, Diophant
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Okay! Es müssen mindestens 76 Autofahrer kontrolliert werden, damit der Dorfsheriff mit einer 90%iger Wahrscheinlichkeit einen angetrunkenen Fahrer erwischt.
Ahhh, stimmt! Bei meiner bisherigen Rechnung wäre es doch dann [mm] P(X\ge1) [/mm] bzw. [mm] 1-P(X\le1), [/mm] oder? Findet man diesen Ansatz auch in meiner Rechnung? Wie würde dann die Rechnung für mindestens zwei angetrunkene Fahrer lauten? Kann man n auch in der kumulierten Binomialverteilungstabelle nachschauen?
piepmatz92
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Hallo,
ja: deine Rechnung entspricht doch genau diesem Ansatz:
P(X>=1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)
Und das schöne daran ist eben, dass dieses Komplementärereignis so schön einfach daher kommt.
Was ist nun das Gegenereignis zu 'mindestens zwei Fahrer'? Natürlich kein Fahrer oder ein Fahrer. Also:
P(X>=2)=1-(P(X=0)+P(X=1))
Und das läuft ja dann schon auf eine Exponentialgleichung hinaus, für die man ein CAS oder einen GTR benötigt.
Mit zunehmender Anzahl mindestens erwischter Fahrer wird also die so erhaltene Gleichung immer 'schwieriger'. Du hast ja richtig erkannt, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt. Aber die Tabellen enthalten ja nur einen sehr begrenzten Wertevorrat für n und außerdem wird dort eigentlich n als fest angenommen. Insofern halte ich das für unmöglich, dass man das Problem im allgemeinen Fall mittels der Binomialverteilung darstellen kann. Das gehört dann schon eher in die Schublade der nicht-elementaren stochastischen Probleme...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Fr 06.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Deine Überlegung (Formel) halte ich für richtig.
Aber mir kommt die 75 ziemlich hoch vor. Hast du vielleicht Promille statt Prozent gerechnet?
Ich habe jetzt allerdings keinen Taschenrechner dabei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Fr 06.05.2011 | | Autor: | piepmatz92 |
Die 75,6 sind richtig. Die Aufgabe war eine Klausuraufgabe und es ist ein roter Haken hinter
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> Deine Überlegung (Formel) halte ich für richtig.
>
> Aber mir kommt die 75 ziemlich hoch vor.
Weshalb ? Wenn 3% alkoholisierte Fahrer unterwegs
sind, müssen durchschnittlich 33 kontrolliert werden,
um etwa einen "Sünder" zu erwischen. Bei 33 Kontrollen
beträgt die Wahrscheinlichkeit, dabei mindestens
einen zu fangen, aber erst etwa 63% .
Will man aber mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens
einen schnappen, muss man eben schon erheblich mehr
Kontrollen machen.
Die Rechnung stimmt.
> Hast du vielleicht
> Promille statt Prozent gerechnet?
>
> Ich habe jetzt allerdings keinen Taschenrechner dabei.
... hast du den online-Rechner noch nicht auf deiner
Lesezeichen-Leiste ?
Hier noch so ein Link: http://www.ecalc.com/
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Sa 07.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> > Ich habe jetzt allerdings keinen Taschenrechner dabei.
>
> ... hast du den online-Rechner noch nicht auf deiner
> Lesezeichen-Leiste ?
Zu Hause habe ich ja einen Taschenrechner. Aber wenn ich 'unterwegs' bin auf einem fremden Rechner, dann kann ich da nichts runterladen.
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