{n \choose k} (Prinzip?) < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | "Sie hat 6 verschiedene Eissorten zur Wahl u. schafft 3 Kugeln. Wieviele mögliche Kombinationen von 3 Eissorten könnte sie wählen."
die richtige Lösung ist
{6 [mm] \choose [/mm] 3} = 20 |
Hallo,
ich möchte zu {n [mm] \choose [/mm] k} etwas Grundsätzliches Allgemeines wissen.
Ich habe mir weitere Aufg./Fragen ausgedacht, wo {n [mm] \choose [/mm] k} anzuwenden ist.
Ein halbes Jahr habe ich geglaubt, dass man diese 3 Aufg. mit {n [mm] \choose [/mm] k} löst.
Jetzt kommen ernsthaft berechtigte Zweifel.
Die Aufg. mit den Eiskugeln soll jedenfalls richtig sein.
Ich kann deshalb nur vermuten, dass sie auch nur eine einzige Sorte hätte wählen können, z.B. 3 Kugeln nur Erdbeer.
Eine ausgedacthe Aufg.:
12 Leute können wieviel verschiedene Paare (2) bilden? =66
Zweifel, weil doch Petra nicht mit sich selbst ein Paar bilden kann, wie es beim Eis möglich war.
Andere ausgedachte Aufg.
Das Alphabet mit 26 Buchstaben; es gibt 4 Platzhalter, d.h. man darf 4x einen Buchstaben ziehen u. die jeweils auf die Platzhalter legen.
{26 [mm] \choose [/mm] 4}
Oder darf man für {26 [mm] \choose [/mm] 4} nur einen Buchstaben ziehen, den auf einen Platzhalter schreiben u. DEN Buchstaben dann zum Alphabet zurücklegen, damit eben z.B. auch aaaa möglich ist, sowie Erdbeer, Erdbeer, Erdbeer?
Nochmal meine Fragen struktuiert:
Für [mm] n^k [/mm] gilt:
- mit Wiederholg.
- mit Zurücklegen
- Reihenfolge ist wichtig (a-b und b-a sind 2 Ereignisse)
Wenn das für [mm] n^k [/mm] gilt, was gilt für {n [mm] \choose [/mm] k}?
Was ja richtig fies ist:
Man könnte glauben, dass mit Wdhlg. und mit Zur.legen eine Eigenschaft seien. Denn Wiederholungen sind ja nur möglich, wenn man zurückgelegt hat.
Quatsch, denn Buchstaben können (je nach Aufg.stellg.) auch doppelt vorkommen. Sehr tückisch.
Für Klärung
vielen vielen DANK
mfg
Sabine
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moin Sabine,
Zuerst mal für den Anfang:
${n [mm] \choose [/mm] k}$ steht für
- ohne zurücklegen
- ohne Beachtung der Reihenfolge
Das heißt also du hast eine Menge mit $n$ Elementen gegeben und nimmst dir davon eine Teilmenge mit $k$ Elementen, genauso wie bei Mengen zählen doppelte nicht und die Reihenfolge der Elemente ist egal.
Das heißt bei der Eisaufgabe und den Buchstaben wären (mit der Rechnung) doppelte nicht gestattet.
Weiterhin wäre die Reihenfolge egal, also "tor" wäre das gleiche wie "rot".
Zu den Päärchenbildungen der 12 Leute:
Wie kommst du auf 66?
Der erste, der sich einen aussucht, kann 11 Leute wählen.
Dann sind zwei weg, der zweite kann also 9 wählen.
Damit sind wir schon bei $9*11 = 99 > 66$; und es sind immer noch viele Möglichkeiten übrig...
> Was ja richtig fies ist:
> Man könnte glauben, dass mit Wdhlg. und mit Zur.legen eine Eigenschaft seien. Denn Wiederholungen sind ja nur möglich, wenn man zurückgelegt hat.
> Quatsch, denn Buchstaben können (je nach Aufg.stellg.) auch doppelt vorkommen. Sehr tückisch.
Doch, die Aussage stimmt schon.
"Mit Wiederhohlung" ist das selbe wie "mit Zurücklegen".
Hast du mehrmals die gleiche Kugel in der Urne (oder was für ein Experiment du auch immer machst) so musst du die gleichen durchnummerieren, etwa schwarz1, schwarz2, etc.
Diese ganzen Formeln - [mm] $n^k$, [/mm] ${n [mm] \choose [/mm] k}$, etc. - gehen immer von unterscheidbaren Objekten aus.
Ist das nicht der Fall kannst du sie nicht verwenden oder musst zumindest erst einmal dein System modifizieren.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Schadow,
aus deiner Antw. habe ich gemacht:
Will man [mm]{n \choose k}[/mm] benutzen müssen erfüllt sein:
a) ohne Zurücklegen
b) Reihenfolge egal
zu
a) oh. Zur.legen
Auch n und k kann man als Mengen auffassen u. die haben niemals ein Element doppelt. So auch die Ergebnismenge von [mm]{n \choose k}[/mm] keine Wiederholg. hat.
D.h.
- bei Eis-Aufg. 3x Erdbeer gibt es nicht
- bei Paarbildg. Petra mit Petra geht nicht
- beim Alphabet a-a-a-a ist nicht zugelassen
Alle diese Kombinationen zählen nicht
zu
b) Reihenfolge wurscht
- Ob Kind die Schokokugel als erstes wählt oder als letztes ist einerlei
- Ob Petra mit Oliver oder Oliver mit Petra ist eine Ereignis
- Ob t-o-r oder r-o-t zählt als ein Ergebnis
> Zu den Päärchenbildungen der 12 Leute: Wie kommst du auf 66?
[mm]{12 \choose 2}[/mm] = [mm] \bruch{12!}{(12-2)! * 2!} [/mm]
aus diesem Bruch habe ich 10! oben u. unten rausgekürzt; es bleibt
[mm] \bruch{12*11}{2} [/mm] = 6*11 =66
> Der erste, der sich einen aussucht, kann 11 Leute
> wählen.
> Dann sind zwei weg,
Nein, es ist nur einer weg, nämlich der, der einmal mit jedem "getanzt" hat.
Den zweiten, den du meinst, der kann doch nun auch nocheinmal mit jedem der 10 tanzen.
(der 11.te ist raus, der hat schon mit jedem u.
der 12.te ist der, der jetzt als zweites dran ist, einmal rundum zu gehen)
Au man, auf was lass ich mich hier schon wieder ein - auch dein Name Shadowmaster ist sicher hier im Matheraum ein Begriff u. jetzt sag ich dir, wie es gehen soll - das geht doch wieder nach hinten los.
Für mich.
Wie man [mm]{n \choose k}[/mm] rechnet habe ich zufällig aus dem Internet (nicht Matheraum), aber bei den anderen Aufg. passte es, also das Rechenergebnis stimmte mit der Rechenart u. mit der Lösg. überein.
Was mir gar nicht gefällt ist:
Ich
>>Was richtig fies ist: Man könnte glauben, dass mit Wdhlg.
>>und Zur.legen eine einzige Eigenschaft seien. Denn
>>Wiederholungen sind ja nur möglich, wenn man zurückgelegt
>>hat. Quatsch, denn Buchstaben können (je nach Aufg.stellg.)
>>auch doppelt vorkommen. Sehr tückisch.
Du (sinngemäß)
>Doch, das stimmt: Zurücklegen entspricht Wiederholungen.
>und sind keine zwei verschiedene Eigenschaften.
>Sind welche dopp. in der Urne muss man sie unterscheidbar
>machen, z.B. mit Indices.
Genau daran habe ich in der Vergangenheit oft dran gedacht u. es auch genau so gemacht. Aber da wird man ja blöde im Kopf bei. Ich dreh durch, verliere den Überblick. Dann kann man doch gleich Aufg. wählen wo unterschiedl. Objekte in der Urne sind, anstatt den Schüler dazu zu zwingen, daran zu denken, dass er jetzt selbst, bevor er anfängt zu rechnen, die Elemente differenziert. Wer denkt denn daran, wer kann das denn schon - ohne Durcheinander zu kommen.
Ja, es gibt sie, die das können. Mir scheinen es Fortgeschrittene zu sein.
Oder solche, die einfach ein Händchen dafür haben.
Aber für Schüler
[mm] schwarz_1, schwarz_2, schwarz_3, [/mm]
nee, das ist zuviel erwartet.
Deswegen die Frage:
Bist du sicher?
> Diese ganzen Formeln - [mm]n^k[/mm], [mm]{n \choose k}[/mm], etc. -
(ich kenne nur 4 u. kann davon nur 2.)
> gehen immer von unterscheidbaren Objekten aus.
Siehste, dann muss doch der Schüler nix machen.
Oder haben wir jetzt ein Missverständnis?
> Werden gleiche Objekte nicht unterschieden kannst
> du diese Formeln nicht verwenden oder musst
> zumindest erst einmal dein System modifizieren.
Das vergessen wir für meinen Fall mal ganz schnell wieder.
Erstmal sind die anderen beiden Formeln, die noch fehlen dran.
Dann müssen die immer wieder geübt werden, möglichst ohne Zwischenfälle oder Falsch-Aufg., also solche, die Fragen aufwerfen oder die man dann doch nicht lösen kann, nachdem man schon viele Std. umsonst investiert hat. Du hörst Frust raus? Jaaaaaa.
Gerade bei Wahrscheinl.keits-Rechng.
Dir erstmal DANKE u. vielleicht bis später
LG
Sabine
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> Aber da wird man ja blöde im Kopf bei. Ich dreh durch, verliere den Überblick. > Dann kann man doch gleich Aufg. wählen wo unterschiedl. Objekte in der Urne sind, anstatt den Schüler dazu zu zwingen, daran zu denken, dass er jetzt selbst, bevor er anfängt zu rechnen, die Elemente differenziert. Wer denkt denn daran, wer kann das denn schon - ohne Durcheinander zu kommen.
Es braucht in erster Linie Erfahrung und Übung.
Und die Modelle (Urnen, etc.) sind eben nur das: Modelle.
Man muss jeweils gucken, ob es möglich ist ein bestimmtes Modell zu verwenden und wenn ja, wie man dafür die "Kugeln" am besten beschriften sollte.
Überdies würde ich dir raten wenn möglich jede Aufgabe auf verschiedene Wege zu rechnen.
Du darfst dabei auch nie deinen Kopf abschalten und dich zu sehr auf die Formeln verlassen.
Analysiere das Problem, rechne es vielleicht (mit kleineren Zahlen) von Hand nach - ggf. mit Strichliste oder ähnlichem - und überlege dir, wie du deine Aufgabe gut lösen kannst.
Auch bietet es sich an, verschiedene Sachen zu zählen.
Ist etwa eine gewisse Anzahl von Gegenständen gegeben und es sind (unter bestimmten Voraussetzungen) die kaputten zu zählen, so kannst du dies tun; du kannst aber auch die heilen zählen und diese Anzahl von der Gesamtanzahl abziehen.
Der Grund, warum ich dir das empfehle, ist, dass (zumindest meiner Erfahrung nach) die Fehlerwahrscheinlichkeit bei solchen Aufgaben sehr hoch ist.
Sei es, dass man aus versehen etwas doppelt gezählt hat (so etwa "rot" und "tor" als zwei verschiedene Wörter), sei es, dass man irgend etwas vergessen hat.
Kommt aber auf mehrere (maßgeblich verschiedene) Arten das selbe raus so kann man sich seiner Sache doch ziemlich sicher sein.
> Au man, auf was lass ich mich hier schon wieder ein - auch dein Name Shadowmaster ist sicher hier im Matheraum ein Begriff u. jetzt sag ich dir, wie es gehen soll - das geht doch wieder nach hinten los.
> Für mich.
Mach dir da mal keinen Kopf drum.
Niemand hier ist unfehlbar und über Kritik oder Belehrung (so lange so sachlich und freundlich vorgetragen) freuen wir uns immer.
> Ja, es gibt sie, die das können. Mir scheinen es Fortgeschrittene zu sein.
Natürlich schadet eine gewisse Übung nie.
Vor allem in der Schule ist Stochastik (oder Kombinatorik, wohin diese Aufgaben eher gehören) oft ein schwieriges Thema, denn hier sind die Formeln und Modelle nur Hilfsmittel; es reicht meist nicht einfach einzusetzen sondern man muss wirklich überlegen.
Dies wird leider an Schulen immer seltener gelehrt.
Davon mal ganz abgesehen haben viele Lehrer selbst nur wenig bis keine Ahnung von dem Thema - ich habe hier an der Uni von Kommilitonen Sachen gehört wie "wir wollten es in der Schule machen, der Lehrer ist bei der einführenden Beispielaufgabe kläglich gescheitert, also hatten wir doch keine Stochastik."
Allerdings, um dich zu beruhigen:
Auch ich hab so meine Probleme mit solchen Aufgaben.
Teils, weil ich einen Fall vergesse und etwas doppelt oder gar nicht zähle, teils, weil viele Aufgaben einfach missverständlich gestellt sind (sodass man aus der Aufgabenstellung nicht entnehmen kann, ob die Reihenfolge nun relevant ist oder nicht, etc.).
Alles in allem ist dieses "geschickte Zählen" durchaus meisterbar, man sollte aber wie bereits gesagt jede Aufgabe auf mindestens zwei (echt!) verschiedene Arten rechnen (keine Sorge, nach ein paar Monaten hast du genug Erfahrung und kennst genug Systeme, dass du für jede Aufgabe mehrere Ideen hast).
Überdies trainierst du hiermit auch dein logisches Denken und das abstrahieren von Problemen; Mathematik, die über das bloße Einsetzen in Formeln hinaus geht.
Dieses Können wird dir, solltest du vielleicht mal in einem Studium mit Mathe konfrontiert werden, sehr nützlich sein.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
P.S.:
Aufg. wortwörtl./Zit.
Von 12 Pers. werden 2 ausgesucht. Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Idee:
Warum nicht äquivalent eine Urne mit 12 Buchstaben u. man darf 2x ziehen.
Also gleiche Aufg. wie oben nur mit folgenden Bedingungen, nämlich die von
$ {n [mm] \choose [/mm] k} $, d.h. ohne Zur.legen u. Reihenfolge wurscht
(ein bisschen Baumdiagramm)
Wenn a mit allen anderen Buchstaben, dann sind das 11 Paare.
Wenn b mit den restl. 10 Buchstab., dann sind das 10 Paare.
Wenn c mit den restl. 9 Paare.
Man kann sich denken, dass die Paarbildungen in schöner Regelmäßigkeit so weitergehen (8,7,6,.....)
Nun steht jede solche Zahl (11, 10, 9, 8, 7, ....) f. einen Buchstaben u. gibt es 12, also
11+10+9+...........+0 = 66
n über k, also 12 über 2 ergibt auch 66
Aber jetzt das Ganze mit [mm] n^k, [/mm] besser
[mm] 12^2 [/mm] abzgl. Wdhlg. und Reihenfolge wurscht
144 minus
a-a
b-b
c-c
bei 12 Buchstab. sind das 12, die abgezogen werden müssen
144-12=136
Jetzt noch die
a-b = b-a
a-c = c-a
abziehen.
Müsste die Hälfte alle Fälle sein, also geteilt durch 2
[mm] \bruch{136}{2}=66
[/mm]
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Ah, du willst nur ein Paar bilden?
Ich hab das so verstanden, dass alle Paare bilden sollten, also dass du die 12 Personen in 6 Päärchen aufteilen wolltest.
Wenn es nur ein Paar sein soll stimmt 66, ja.
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