n kugeln auf 3 urnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 So 22.06.2008 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | | Wie viele Möglichkeiten gibt es n Kugeln auf 3 verschiedene Urnen zu verteilen? |
Hallo,
ich zerbrech mir jetzt schon seit geraumer Zeit den Kopf über dieser Aufgabe, komme aber einfach keinen Schritt weiter... :(
Man kann sich überlegen, dass gilt:
Betrachtet man nur die erste Urne, kann man diese auf "n+1" verschiedene Möglichkeiten befüllen, also von 0 bis n ist jede Variante erlaubt: [mm] \summe_{i=0}^{n}1=n+1.
[/mm]
auf die 2. Urne werden so viele Kugeln verteilt, wie man in die erste nicht hineingepackt hat (a) , also n-a Kugeln.
[mm] \to \summe_{i=0}^{n-a}1=n-a+1.
[/mm]
Alle restlichen Kugeln müssen in die letzte Urne gefüllt werden, also gibt es dort nur eine Variante.
Somit beträgt die mögliche Anzahl meiner Varianten: (n+1)*(n-a+1)
Aber was mache ich jetzt mit dem a?
Es entspricht doch der Anzahl an Kugeln, die ich nicht in die erste Urne getan habe, muss also im Intervall [0,n] liegen.
Aber welche Zal ist es? Ist der Ansatz richtig, oder liegt da irgendwo ein Fehler drin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 22.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Wie viele Möglichkeiten gibt es n Kugeln auf 3 verschiedene
> Urnen zu verteilen?
> Hallo,
>
> ich zerbrech mir jetzt schon seit geraumer Zeit den Kopf
> über dieser Aufgabe, komme aber einfach keinen Schritt
> weiter... :(
>
> Man kann sich überlegen, dass gilt:
>
> Betrachtet man nur die erste Urne, kann man diese auf "n+1"
> verschiedene Möglichkeiten befüllen, also von 0 bis n ist
> jede Variante erlaubt: [mm]\summe_{i=0}^{n}1=n+1.[/mm]
>
> auf die 2. Urne werden so viele Kugeln verteilt, wie man in
> die erste nicht hineingepackt hat (a) , also n-a Kugeln.
> [mm]\to \summe_{i=0}^{n-a}1=n-a+1.[/mm]
>
> Alle restlichen Kugeln müssen in die letzte Urne gefüllt
> werden, also gibt es dort nur eine Variante.
>
> Somit beträgt die mögliche Anzahl meiner Varianten:
> (n+1)*(n-a+1)
>
> Aber was mache ich jetzt mit dem a?
> Es entspricht doch der Anzahl an Kugeln, die ich nicht in
> die erste Urne getan habe, muss also im Intervall [0,n]
> liegen.
>
> Aber welche Zal ist es? Ist der Ansatz richtig, oder liegt
> da irgendwo ein Fehler drin?
Hallo,
ich würde deine n+1 Möglichkeiten für die 1. Urne systematisch durchprobieren:
Fall 1: n Kugeln in Urne 1
Verteilung(en) auf U2/U3: 0/0 (1 Möglichkeit)
Fall 2: n-1 Kugeln in Urne 1
Verteilung(en) auf U2/U3: 1/0, 0/1 (2 Möglichkeiten)
Fall 3: n-2 Kugeln in Urne 1
Verteilung(en) auf U2/U3: 2/0, 1/1, 0/2 (3 Möglichkeiten)
Fall 4: n-3 Kugeln in Urne 1
Verteilung(en) auf U2/U3: 3/0, 2/1, 1/2, 0/3 (4 Möglichkeiten)
usw.
Merkst du was?
Gruß Abakus
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Es handelt sich hierbei um n-faches Auswählen einer der 3 Urnen mit Wiederholung (denn du kannst ja eine Urne mehrfach dafür auswählen, eine Kugel reinzuwerfen) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (denn es ist egal, wann du eine Kugel reintust - wichtig ist nur, wieviele am Ende in jeder Urne sind) Die Formel um n-mal aus k Objekten zu wählen, ist [mm] \vektor{n + k - 1 \\ k - 1} [/mm] in deinem Fall also [mm] \vektor{n + 2 \\ 2}
[/mm]
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| Aufgabe | So und wenn man jetzt die aufgabe erweitern würde indem man fragt
1. Urne 1 ist als einzige leer wie is da die wahrscheinlichkeit?
2.Genau eine Urne ist leer
3. Keine urne ist leer
gegeben 3 urnen n kugeln zufällig verteilt |
Wie kann ich das berechen wein ich hab keinen blassen schimmer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 20.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Wie viele Möglichkeiten gibt es n Kugeln auf 3 verschiedene
> Urnen zu verteilen?
Eine wichtige Frage, um eine präzise Aufgabenstellung zu
erhalten:
Sind die n Kugeln als identisch (vertauschbar) zu betrachten
oder sind sie z.B. durch Nummerierung oder unterschiedliche
Färbung als "Individuen" zu betrachten ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Fr 18.07.2008 | | Autor: | neo-killer |
n unterscheidbare Kugeln sollen zufällig auf drei duch Zahlen 1 bis 3 gekennzeichnete Urnen verteilt werden.
Berechnen der Wahrscheinlichkeit
a) Urne 1 ist als einzige leer
b) Genau 1 urne ist leer
c)Keine Urne ist leer
P.S. interesse, wo würde der unterschied liegen wenn die nicht unterscheidbar sind
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> n unterscheidbare Kugeln sollen zufällig auf drei duch
> Zahlen 1 bis 3 gekennzeichnete Urnen verteilt werden.
> Berechnen der Wahrscheinlichkeit
>
> a) Urne 1 ist als einzige leer
> b) Genau 1 urne ist leer
> c)Keine Urne ist leer
>
Wenn die Kugeln unterscheidbar sind, ist die ursprüngliche
Frage sehr leicht zu beantworten:
Jeder der Kugeln (Nr. 1 ... n) wird eine Urne (1,2 oder 3)
zugeordnet. Dafür gibt es [mm] 3^n [/mm] Möglichkeiten (falls jede
der Urnen gross genug ist, um eventuell alle Kugeln
zu fassen  ).
Dann erübrigt sich wohl auch die Fallunterscheidung, welche
Urnen leer bleiben - war so etwas überhaupt gefragt ?
> P.S. interesse, wo würde der unterschied liegen wenn die
> nicht unterscheidbar sind
Wichtigster Unterschied: die Aufgabe wird schwieriger...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:18 So 20.07.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Jeder der Kugeln (Nr. 1 ... n) wird eine Urne (1,2 oder 3)
> zugeordnet. Dafür gibt es [mm]3^n[/mm] Möglichkeiten
Genau das hatte ich aus der ursprünglichen Aufgabe auch raus.
Aber trotzdem ist die Ursprungsaufgabe irgendwie unpräzise, da sie einige Fragen offen lässt. Und man kriegt unterschiedliche Ergebnisse raus, je nachdem wie man diese Fragen beantwortet.
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Spielt es eine Rolle, welche Kugel in welcher Urne liegt, überlegst du so:
Für die 1. Kugel hast du 3 Mgl., für die 2. Kugel hast du 3 Mgl....für die n-te Kugel hast du 3 Mgl., also insgesamt [mm] 3^n [/mm] Mgl.
Spielt es aber keine Rolle, welche Kugel wo liegt, sondern nur, wieviele in der 1., 2. und 3. Urne liegen (z.B. alle Kugeln sind rot), gehst du so vor:
Du wählst dir im Heft einen Streifen mit n+2 Kästchen aus.
Beispiel: n=10, also 12 Kästchen. Nun wählst du davon 2 Kästchen aus und markierst sie durch ein Kreuz, z.B. das 5. und das 7. Kästchen. Es bleiben n Kästchen frei.
Die Kästchen vor dem ersten Kreuz (hier 4) sagen dir nun, dass in die erste Urne 4 Kugeln kommen, die zwischen dem ersten und zweiten Kreuz (hier eins, Nummer 6) sagen dir, wieviel Kugeln in die 2. Urne kommen und die hinter dem 2. Kreuz (hier 5), wieviele in die letzte Urne kommen.
Markierst du z.B. Kästchen 1 und 2, kommen in Urne 1 und 2 gar keine Kugeln, sondern alle in Urne 3.
Jede andere Auswahl der Markierungen sorgt für eine andere Aufteilung, und zu jeder beliebigen Aufteilung gibt es genau eine Markierungsmöglichkeit.
Da es [mm] \vektor{n+2 \\ 2} [/mm] Markierungsmöglichkeiten gibt, gibt es auch soviele Möglichkeiten der Verteilung.
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