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Forum "Zahlentheorie" - n/p ist Primzahl
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n/p ist Primzahl: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Do 08.10.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN [/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die kleinste Primzahl, die n teilt, und sei p > [mm] \wurzel[3]{n}. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] eine Primzahl ist.

Hallo,

ich bin hier wieder mal ratlos. Für einen Tipp wäre ich dankbar ...

Viele Grüße,

Martin

        
Bezug
n/p ist Primzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Do 08.10.2020
Autor: HJKweseleit


> Sei n [mm]\in \IN[/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die
> kleinste Primzahl, die n teilt, und sei p > [mm]\wurzel[3]{n}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist.

Das bedeutet doch:

[mm] n=p*q_1q_2q_3..., [/mm]  wobei die [mm] q_s [/mm] die weiteren Primfaktoren von n sind, und zwar in aufsteigender Reihenfolge.

... dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist heißt: es gibt nur [mm] q_1 [/mm] und keine weiteren Primfaktoren, wobei nun [mm] q_1\ge [/mm] p sein muss.

p > [mm]\wurzel[3]{n}[/mm] bedeutet: [mm] p^3 [/mm] >n = [mm] p*q_1q_2q_3... [/mm]

Jetzt folgerst du aus der letzten Ungleichung, dass nur [mm] q_1 [/mm] existieren kann.


Bezug
                
Bezug
n/p ist Primzahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 Do 08.10.2020
Autor: sancho1980

Wir haben zeitgleich gepostet. Meins müsste aber stimmen, oder?

Bezug
        
Bezug
n/p ist Primzahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Do 08.10.2020
Autor: sancho1980

Heureka, ich glaub ich hab's:

Aus p > [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] folgt, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] < [mm] \bruch{n}{\wurzel[3]{n}} [/mm] = [mm] n^{\bruch{2}{3}}. [/mm]
Wenn [mm] \bruch{n}{p} [/mm] zusammengesetzt ist, muss es einen Primteiler q [mm] \le \wurzel{\bruch{n}{p}} [/mm] haben. Wegen [mm] \bruch{n}{p} [/mm] < [mm] n^{\bruch{2}{3}} [/mm] muss sogar q < [mm] \wurzel{n^{\bruch{2}{3}}} [/mm] = [mm] n^{\bruch{1}{3}} [/mm] gelten. Doch q müsste dann auch ein Primteiler von n sein, und der kleinste Primteiler von n ist bereits p > [mm] n^{\bruch{1}{3}}. [/mm]

Bezug
                
Bezug
n/p ist Primzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Fr 09.10.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Beweis passt.

Gruß,
Gono

Bezug
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