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| Aufgabe | Berechnen sie für natürliche Zahlen m, n und q:
a) [mm] \summe_{i=0}^{n} q^i
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n} 2^i+j [/mm] |
Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe wirklich nicht weiter. kann mir jemand dabei helfen?
Ich weiß überhaupt nciht, wie ich anfangensoll. Schon mal vielen, vielen Dank und LG...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 06.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Berechnen sie für natürliche Zahlen m, n und q:
> a) [mm]\summe_{i=0}^{n} q^i[/mm]
Stelle eine Gleichung auf, indem du diese ganze Summe x nennst, multipliziere diese Gleichung dann auf beiden Seiten mit q. Diese Gleichung ziehst du dann von der ursprünglichen Gleichung ab. Das Summenzeichen geht dabei weg und den Rest kannst du nach x auflösen.
> b) [mm]\summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n} 2^i+j[/mm]
Hier mußt du nur die Summengesetze bei der zweiten Summe anwenden:
[mm] $\sum_{j=0}^n [/mm] a + b = [mm] \sum_{j=0}^n [/mm] a + [mm] \sum_{j=0}^n [/mm] b$
[mm] $\sum_{j=0}^n [/mm] c = (n+1)* c$ wenn c nicht von j abhängt.
[mm] $\sum_{j=0}^n [/mm] j = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * n * (n+1)$
danach kannst du noch dein Ergebnis aus a.) anwenden.
LG
Will
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 08.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Kleine Variation der Aufgabe, möglicherweise ein Fehler im Aufgabentext, wie auch immer, ich stehe vor der identischen Aufgabe, bloß mit
[mm] \summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n} 2^{i+j}.
[/mm]
So, hier helfen mir zumindest die oben genannten Summengesetze nicht entscheidend weiter - oder übersehe ich da etwas?
Wie gehe ich vor?
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Hallo MaRaQ!
Du kannst hier ausklammern:
[mm] $$\summe_{i=0}^{m}\left(\summe_{j=0}^{n} 2^{i+j}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=0}^{m}\left[\summe_{j=0}^{n} \left(2^{i}*2^{j}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=0}^{m}\left(2^{i}*\summe_{j=0}^{n} 2^{j}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Für die hintere Summe kannst Du nun die Formel für die geometrische Reihe einsetzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Do 08.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Danke. Ich denke, ich habe das jetzt so weit verstanden und gelöst...
Mein Ergebnis nach etlichen Umformungen ist
(...) = [mm] 2^{n+m+2} [/mm] - [mm] 2^{n+1} [/mm] - [mm] 2^{m+1} [/mm] + 1
Das nachzurechnen möchte ich jetzt keinem zumuten - da ich grade auch zu träge bin, die kompletten Gleichungen mit all diesen Potenzen und Summenzeichen zu übertragen... ;)
Etwas schöner geschrieben: [mm] (2^{n+1} -1)(2^{m+1} [/mm] - 1).
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