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natürliche Zahlen und Brüche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Fr 01.07.2011
Autor: steve.joke

Aufgabe
Für welche ungeraden natürlichen Zahlen n ist

[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n} \in \IN?? [/mm]

Hi,

hier eine kleine Lösung dazu:


Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche Zahl. Sein nun [mm] n\ge [/mm] 3 und

[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N} [/mm]

mit N=1*3*5***n und [mm] Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}. [/mm]

Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im Intervall [mm] [\bruch{n+1}{2}...n+1] [/mm] und da n+1 gerade ist, ist [mm] p\not=n+1 [/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit [mm] \bruch{n+1}{2}\le [/mm] p [mm] \le [/mm] n.

Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich p teilt [mm] \bruch{N}{i} [/mm] für alle [mm] i\not=p [/mm] aber p teilt nicht [mm] \bruch{N}{p}. [/mm]

Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und [mm] \bruch{Z}{N} [/mm] kann nicht ganz sein.
_________


So, das war die Lösung dazu. Leider verstehe ich hier nicht alle Schritte.

Ist das Ergebnis dann eigentlich, dass nur für n=1 die Summe [mm] \in \IN [/mm] ist??

> Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche Zahl. Sein nun [mm] n\ge [/mm] 3 und
> [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N} [/mm]
> mit N=1*3*5***n und [mm] Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}. [/mm]

Das ist klar.

> Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im Intervall [mm] [\bruch{n+1}{2}...n+1] [/mm] und da n+1 gerade ist, ist [mm] p\not=n+1 [/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit [mm] \bruch{n+1}{2}\le [/mm] p [mm] \le [/mm] n.

Das sagt doch eigentlich nur, dass es zwischen einer Zahl und dem doppelten dieser Zahl eine Primzahl liegen muss, oder??

Jetzt kommt der Schritt, den ich nicht verstehe.

> Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich p teilt [mm] \bruch{N}{i} [/mm] für alle [mm] i\not=p [/mm] aber p teilt nicht [mm] \bruch{N}{p}. [/mm]
> Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und [mm] \bruch{Z}{N} [/mm] kann nicht ganz sein.


Was wollen die hier zeigen?

In dem Intervall [1,3,....,n]  müsste doch p eigentlich sich selber teilen, oder? denn p müsste ja auch [mm] \in [/mm] [1,3,....,n] sein? Soll das hiermit gemeint sein: p teilt [mm] \bruch{N}{i}? [/mm] Oder was bedeutet [mm] \bruch{N}{i}?? [/mm]

so ganz verstehe ich nicht, was die am Schluss gezeigt haben.

Grüße




        
Bezug
natürliche Zahlen und Brüche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Fr 01.07.2011
Autor: reverend

Hallo Steve,

das ist ein hübscher Beweis, den Du da mitbringst. ;-)

> Für welche ungeraden natürlichen Zahlen n ist
>  
> [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n} \in \IN??[/mm]
>  
> Hi,
>  
> hier eine kleine Lösung dazu:
>  
>
> Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche
> Zahl. Sein nun [mm]n\ge[/mm] 3 und
>
> [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N}[/mm]
>  
> mit N=1*3*5***n und
> [mm]Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}.[/mm]
>  
> Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im
> Intervall [mm][\bruch{n+1}{2}...n+1][/mm] und da n+1 gerade ist, ist
> [mm]p\not=n+1[/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit
> [mm]\bruch{n+1}{2}\le[/mm] p [mm]\le[/mm] n.
>  
> Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge
> [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich
> p teilt [mm]\bruch{N}{i}[/mm] für alle [mm]i\not=p[/mm] aber p teilt nicht
> [mm]\bruch{N}{p}.[/mm]
>  
> Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und
> [mm]\bruch{Z}{N}[/mm] kann nicht ganz sein.
>  _________
>  
>
> So, das war die Lösung dazu. Leider verstehe ich hier
> nicht alle Schritte.
>  
> Ist das Ergebnis dann eigentlich, dass nur für n=1 die
> Summe [mm]\in \IN[/mm] ist??

Ja, richtig.

> > Für n=1 ist die Summe gleich 1, also eine natürliche
> Zahl. Sein nun [mm]n\ge[/mm] 3 und
> >
> [mm]\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{1}{n}=\bruch{Z}{N}[/mm]
>  > mit N=1*3*5***n und

> [mm]Z=\bruch{N}{1}+\bruch{N}{3}+\bruch{1}{5}+...+\bruch{N}{n}.[/mm]
>  
> Das ist klar.
>  
> > Nach Bertrands Postulat gibt es eine Primzahl p im
> Intervall [mm][\bruch{n+1}{2}...n+1][/mm] und da n+1 gerade ist, ist
> [mm]p\not=n+1[/mm] und p ist eine ungerade Zahl mit
> [mm]\bruch{n+1}{2}\le[/mm] p [mm]\le[/mm] n.
>  
> Das sagt doch eigentlich nur, dass es zwischen einer Zahl
> und dem doppelten dieser Zahl eine Primzahl liegen muss,
> oder??

Das sagt Bertrand. Hier wird das nun angewandt, um zu zeigen, dass eine der ungeraden Zahlen "in der zweiten Hälfte" prim sein muss.

> Jetzt kommt der Schritt, den ich nicht verstehe.
>  
> > Insebesondere teilt p keine andere Zahl in der Menge
> [1,3,....,n] und deshalb teilt sie N nur ein Mal, nämlich
> p teilt [mm]\bruch{N}{i}[/mm] für alle [mm]i\not=p[/mm] aber p teilt nicht
> [mm]\bruch{N}{p}.[/mm]
>  > Somit teilt p den Nenner N aber nicht den Zähler Z und

> [mm]\bruch{Z}{N}[/mm] kann nicht ganz sein.
>  
>
> Was wollen die hier zeigen?
>  
> In dem Intervall [1,3,....,n]  müsste doch p eigentlich
> sich selber teilen, oder? denn p müsste ja auch [mm]\in[/mm]
> [1,3,....,n] sein? Soll das hiermit gemeint sein: p teilt
> [mm]\bruch{N}{i}?[/mm] Oder was bedeutet [mm]\bruch{N}{i}??[/mm]

Das gemeinte p liegt nicht nur in [1,3,...,n], sondern sogar in [(n+1)/2,....,n-2,n]

Selbst wenn der Nenner nicht bereinigt wird (sprich: die gesamte Summe also ordnungsgemäß gekürzt wird), so kommt trotzdem nur einmal der Faktor p darin vor. Andererseits muss der Nenner (gekürzt oder nicht), ja durch jede der ungeraden Zahlen von 3 bis n teilbar sein. Wenn ich nun durch eine dieser Zahlen, beliebig als i bezeichnet, teile, dann bleibt das Ergebnis [mm] \tfrac{N}{i} [/mm] auch noch durch p teilbar, außer eben, wenn i=p ist.

Der Zähler - um den geht es ja, er ist dargestellt (ungekürzt) als [mm] \summe\tfrac{N}{i} [/mm] - besteht also aus lauter Summanden, die durch p teilbar sind, und einem, der nicht durch p teilbar ist. Die Summe kann daher nicht durch p teilbar sein.

> so ganz verstehe ich nicht, was die am Schluss gezeigt
> haben.

Jetzt fehlt ja nur noch die Überlegung, dass N durch p teilbar war. Also steht im Nenner der Faktor p, im Zähler aber nicht, so dass er sich nicht wegkürzt. Damit kann der ganze Bruch [mm] \tfrac{Z}{P} [/mm] also keine ganze Zahl sein.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
natürliche Zahlen und Brüche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Fr 01.07.2011
Autor: steve.joke

danke für die erklärung.

Bezug
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