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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - ne Aufgabe
ne Aufgabe < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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ne Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 So 23.08.2009
Autor: KingStone007

Also folgende Aufgabe:
Für alle [mm] (2^n)-1 [/mm] der nichtleeren Teilmengen von M={1,2,...,n} berechne man das Produkt der Reziproken ihrer Elemente. Was ist die Summe dieser Produkte?

        
Bezug
ne Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 So 23.08.2009
Autor: abakus


> Also folgende Aufgabe:
>  Für alle [mm](2^n)-1[/mm] der nichtleeren Teilmengen von
> M={1,2,...,n} berechne man das Produkt der Reziproken ihrer
> Elemente. Was ist die Summe dieser Produkte?

Hallo Kingstone007,
wo bleibt deine Eigenleistung?
Nimm mal an, die Menge wäre
a) [mm] M=\{1\} [/mm]
b) [mm] M=\{1;2\} [/mm]
c) [mm] M=\{1;2;3\} [/mm]
Notiere jeweils alle Teilmengen, alle zugehörigen Produkte der Reziproken der Elemente, die Summe dieser Produkte.
Gruß Abakus

PS: Frage zur Aufgabe: Wenn eine Teilmenge nur ein Element hat: ist der Kehrwert dieses alleinigen Element auch schon ein "Produkt"? Oer braucht man zur Produktbildung mindestens zwei Elemente?

Bezug
                
Bezug
ne Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 So 23.08.2009
Autor: KingStone007

ja hab ich schon ausprobiert, wenn ichs richtig gemacht habe dann is die summe gleich n.
aber wie kann ich das allgemien beweisen

mfg, david

Bezug
                        
Bezug
ne Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 So 23.08.2009
Autor: abakus


> ja hab ich schon ausprobiert, wenn ichs richtig gemacht
> habe dann is die summe gleich n.

Das habe ich auch.

>  aber wie kann ich das allgemien beweisen

Vermutlich mit vollständiger Induktion.
Gruß Abakus

>  
> mfg, david


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ne Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 So 23.08.2009
Autor: KingStone007

Ich weiß aber nicht wie ich den Induktionsschluss hinbekomme.

Mfg, David

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ne Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 So 23.08.2009
Autor: abakus


> Ich weiß aber nicht wie ich den Induktionsschluss
> hinbekomme.

Für n+1 als neues größtes Element gilt es die schon vorhandenen und einige neue Teilmengen:
- alle schon vorhandenen Teilmengen OHNE (n+1) und damit auch alle schon vorhandenen Reziprokenprodukte  (deren Summe laut Ind.-Voraussetzung n ist)
- alle schon vorhandenen Teilmengen MIT den zusätzlichen
Element (n+1) und damit alle bisherigen Produkte mal [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]
Das ergibt als Summe ...
- die bisher nicht mitberechnete leere Menge, die durch Hinzunahme von (n+1) eine einelementige Teilmenge mit dem Reziproken-"Produkt" [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] wird.
Tu alles zusammen ....
Gruß Abakus
  

>  
> Mfg, David


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ne Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 So 23.08.2009
Autor: KingStone007

achso danke ok....

Mfg; David

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