negative Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 11.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X sei negativ binomialverteilt zu den Parametern r [mm] \in [/mm] N
und p [mm] \in [/mm] (0, 1), d.h. es gilt
P(X = k) = [mm] \vektor{r + k-1\\ k}p^r(1 [/mm] − [mm] p)^k [/mm] = [mm] \vektor{-r\\ k}p^r(p [/mm] − [mm] 1)^k, [/mm] für k [mm] \in \IN.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die erzeugende Funktion [mm] f^X [/mm] von X.
b) Sei Y eine von X unabhängige, zu den Parametern s und p (s [mm] \in \IN) [/mm] negativ binomialverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y .
c) Bestimmen Sie E(X) und V ar(X).
Hinweise:
Benutzen Sie in b) und c) erzeugende Funktionen.
Mit [mm] \vektor{-n\\ k}:= \bruch{(-n)*(-n-1)*...*(-n-(k-1))}{k!}
[/mm]
gilt [mm] (1+x)^{-n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-n\\ k}x^k [/mm] und [mm] (-1)^k \vektor{-n\\ k}=\vektor{n+k-1\\ k}.
[/mm]
Interpretieren Sie für den unabhängigen Münzwurf (mit Erfolgswahrscheinlichkeit p fürdas Ereignis Zahl) die Zufallsvariable X als die Anzahl der Wappen, die nötig sind, bis zum r-ten Mal Zahl auftritt. |
Hallo ,
also ich weiß das
[mm] f^x=(\bruch{p}{1-(1-p)*k})^r [/mm] , mit [mm] 0
aber komme selber nicht auf das Ergebniss.
Hier kann man in f'^x 1 einsetzen und mann erhält den Erwrtungswert.
Nicht viel aber etwas vielleicht habt ihr zunächst ein Tipp für die a).
schönen Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Do 11.12.2008 | | Autor: | Karras |
Die Summe für die erzeugende Funktion fängt bei k=0 an
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}p^r(p-1)^kt^k=p^r\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}(p-1)^kt^k=p^r\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}((p-1)t)^k$
[/mm]
So (p-1) ist -(1-p) da [mm] p\in(0,1)
[/mm]
Nun musst du nur noch den (heißen) Tipp von der Aufgabe anwenden um die Summe und den Binomialkoeffizenten aufzulösen
MfG Karras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hi karras,
Danke für dein Tipp, kannst du vielleicht kurz was zu [mm] t^k [/mm] sagen
kann mir den Teil nicht erklären.
Also ich weiß das ich auf
[mm] f^x=(\bruch{p}{1-(1-p)\cdot{}k})^r [/mm]
kommen muß.
[mm] f^x= \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}p^r(p-1)^kt^k=p^r\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}(p-1)^kt^k
[/mm]
[mm] =p^r\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}((p-1)t)^k [/mm] , mit [mm] p\in(0,1) [/mm]
[mm] =p^r\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}(-(1-p)t)^k [/mm]
'mit dem Tipp in der Aufgabe
[mm] (1+x)^{-n} [/mm] = $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-n\\ k}x^k [/mm] $ '
Also mit x=(1-p)t,
[mm] =p^r\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-r\\ k}(-(1-p)t)^k [/mm]
[mm] =p^r [/mm] * [mm] (1-(1-p)t)^{-r} [/mm] )
[mm] =p^r [/mm] * [mm] (1-(1-p)t)^{-r})
[/mm]
[mm] =(\bruch{p}{1-(1-p)t})^r
[/mm]
Wenn t=k wäre dann würde es hinhauen,
was ist den t hier genau?
schönen Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hallo luis :),
danke für den Link. Ich kann also
[mm] f^x(t)= $ =(\bruch{p}{1-(1-p)t})^r [/mm] $ schreiben.
Also wenn ich jetzt nach dem Link gehe folgt
E(X)= [mm] f^{'x}(1)
[/mm]
[mm] Var(X)=f^{''x}(1)+f^{'x}(1)(1-f^{'x}(1))
[/mm]
mit [mm] f^{'x}(t)= [/mm] rp(p-1) [mm] (\bruch{p}{1-(1-p)t})^{r-1}
[/mm]
= r(p-1) *(1-(1-p)t) [mm] (\bruch{p}{1-(1-p)t})^r [/mm] und
[mm] f^{''x}(t)= [/mm] r(r-1)*2p(p-1) [mm] (\bruch{p}{1-(1-p)t})^{r-2}
[/mm]
= r(r-1)*2(p-1) * [mm] \bruch{(1-(1-p)t)^2}{p}(\bruch{p}{1-(1-p)t})^{r}
[/mm]
[mm] E(X)=f^{'x}(1)= [/mm] r(p-1) *(1-(1-p)t) [mm] (\bruch{p}{1-(1-p)t})^r [/mm] und
Var(X)= r(r-1)*2(p-1) * [mm] \bruch{(1-(1-p)t)^2}{p}(\bruch{p}{1-(1-p)t})^{r} [/mm] + r(p-1) *(1-(1-p)t) [mm] (\bruch{p}{1-(1-p)t})^r [/mm] * (1-r(p-1) *(1-(1-p)t) [mm] (\bruch{p}{1-(1-p)t})^r)
[/mm]
[mm] =(\bruch{p}{1-(1-p)t})^r)* [/mm] (r(r-1)*2(p-1) * [mm] \bruch{(1-(1-p)t)^2}{p} [/mm] + r(p-1) *(1-(1-p)t)*(1-r(p-1) *(1-(1-p)t) )
Hhhmm iregendwie gefällt mir das nicht was meint ihr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Fr 12.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
um Himmels Willen setze q=1-p oder so.
*Ich* erhalte [mm] f^{'X}(t)=\frac{qr}{p}\left(\dfrac{p}{1-qt}\right)^r [/mm] und [mm] f^{''X}(t)=\frac{q^2r(1+r)}{p}\left(\dfrac{p}{1-qt}\right)^{r-2}
[/mm]
Ich vermute, es wird etwas einfacher, wenn du mit der momenterzeugenden
Funktion [mm] m(t)=\operatorname{E}[\exp(tX)] [/mm] arbeiten wuerdest.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Fr 12.12.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> Habt ihr vielleicht eine Idee für die b)?
Schau dir mal 7 (Sums) im o.g. Link an.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Daraus kann ich erkennen das zu Zeigen ist
[mm] f(t)=f^x(t)f^y(t) [/mm] aber der rest wird mir nicht klar.
Hab übrigens Teil c) hinbekommen fehlt nur noch b) :)
b) Sei Y eine von X unabhängige, zu den Parametern s und p (s $ [mm] \in \IN) [/mm] $ negativ binomialverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Fr 12.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Daraus kann ich erkennen das zu Zeigen ist
> [mm]f(t)=f^x(t)f^y(t)[/mm] aber der rest wird mir nicht klar.
Schade.
> Hab übrigens Teil c) hinbekommen fehlt nur noch b) :)
Das hier hat sehr viel mit b) zu tun.
Ich zitiere mal aus dem Link:
Under mild conditions, the generating function completely determines the distribution.
Du moechtest also die Verteilung von X+Y bestimmen. Diese ist durch ihre wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion eindeutig definiert. Was du nicht verstehst ist eine Formel zu ihrer Berechnung (der Nachweis ist ganz leicht!). Du kennst also die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von X und die von Y. Damit kannst du die von X+Y berechnen. Jetzt schau dir das Ergebnis an. Du wirst sehen, es handelt sich um die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion einer negativen Binomialverteilung.
Mich wundert, dass du solche Aufgaben bearbeiten sollst, jedoch
anscheinend ohne irgendwelche (in der Vorlesung?) erworbenenen
Kenntnisse.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hallo luis,
die Vorlesung ist zu theoretisch und
manchmal ist etwas in der Übung was noch nicht in der Vorlesung war.
> Under mild conditions, the generating function completely
> determines the distribution.
>
> Du moechtest also die Verteilung von X+Y bestimmen. Diese
> ist durch ihre wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion
> eindeutig definiert. Was du nicht verstehst ist eine
> Formel zu ihrer Berechnung (der Nachweis ist ganz leicht!).
> Du kennst also die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion
> von X und die von Y.
von X
$ [mm] f^x(t)= [/mm] $ $ [mm] =(\bruch{p}{1-(1-p)t})^r [/mm] $
wie soll den Y aussehen? so?
$ [mm] f^y(s)= [/mm] $ $ [mm] =(\bruch{p}{1-(1-p)s})^r [/mm] $
Hier nochmal die Aufgabenstellung:
b) Sei Y eine von X unabhängige, zu den Parametern s und p (s $ [mm] \in \IN) [/mm] $ negativ binomialverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y .
Dann einfach
[mm] P_{xy}(X,Y)=P({X=x,Y=y})= f^x(t)*f^y(s)?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
> [mm]f^{X+Y}(t)=f^x(t)*f^y(t)[/mm]
Das sagt mir doch etwas über die erzeugenden Funtionen aus.
Ist dies in der Aufgabenstellung gemeint mit
'Bestimmen sie die Verteilung von X und Y'?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Nataliee |
Na gut hab's verstanden.
Danke schön :)
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diesem![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
) benutzt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
