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nicht-lin. SG: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Mo 01.07.2013
Autor: Approximus

Aufgabe
nicht-lineare Schrödingergleichung:
[mm] i\partial_{t}u(t,x)=-\Delta u(t,x)+\mu|u(t,x)|^{\alpha}-1u(t,x) [/mm]
mit [mm] x\in\IR^{d}, t\in\IR, \mu=-1 [/mm] oder 1 und [mm] \alpha>1 [/mm]
Sei [mm] k\in\IR^{d}\setminus\{0\} [/mm] ein vorgegebener Vektor und [mm] a\in\IC [/mm] const.

zeige: ebene Welle mit [mm] w_{k}(0,x)=ae^{ikx} [/mm] ist Lsg. der nl-SG.

Hallo, ich komme hierbei leider nicht weiter...meine bisherigen Rechnungen:

[mm] \partial_{t}w_{k}(0,x)=0 [/mm]

[mm] \Delta w_{k}(0,x)=a(ik)^{2}e^{ikx}=-ak^{2}e^{ikx} [/mm]

[mm] \mu|u(t,x)|^{\alpha-1}=\mu|ae^{ikx}|^{\alpha-1}=\mu |a|^{\alpha-1} [/mm]

aber das geht nicht ganz auf, da hat sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen.
Wäre für einen Tipp sehr dankbar!
MfG

PS: diese Frage habe ich keinem anderen Forum gestellt!

        
Bezug
nicht-lin. SG: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mi 03.07.2013
Autor: MathePower

Hallo Approximus,

> nicht-lineare Schrödingergleichung:
>  [mm]i\partial_{t}u(t,x)=-\Delta u(t,x)+\mu|u(t,x)|^{\alpha}-1u(t,x)[/mm]
>  
> mit [mm]x\in\IR^{d}, t\in\IR, \mu=-1[/mm] oder 1 und [mm]\alpha>1[/mm]
>  Sei [mm]k\in\IR^{d}\setminus\{0\}[/mm] ein vorgegebener Vektor und
> [mm]a\in\IC[/mm] const.
>  
> zeige: ebene Welle mit [mm]w_{k}(0,x)=ae^{ikx}[/mm] ist Lsg. der
> nl-SG.
>  Hallo, ich komme hierbei leider nicht weiter...meine
> bisherigen Rechnungen:
>  
> [mm]\partial_{t}w_{k}(0,x)=0[/mm]
>  
> [mm]\Delta w_{k}(0,x)=a(ik)^{2}e^{ikx}=-ak^{2}e^{ikx}[/mm]
>  
> [mm]\mu|u(t,x)|^{\alpha-1}=\mu|ae^{ikx}|^{\alpha-1}=\mu |a|^{\alpha-1}[/mm]
>  


Die Gleichung lautet doch:

[mm]i\partial_{t}u(t,x)=-\Delta u(t,x)+\mu|u(t,x)|^{\alpha\blue{-1}}u(t,x)[/mm]


> aber das geht nicht ganz auf, da hat sich irgendwo ein
> Fehler eingeschlichen.
>  Wäre für einen Tipp sehr dankbar!
>  MfG
>  
> PS: diese Frage habe ich keinem anderen Forum gestellt!


Gruss
MathePower

Bezug
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