(nicht) irreduzible Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | a) Sei K ein beliebiger Körper. Zeige, dass [mm] 1+x+x^3+x^4 \in [/mm] K[x] nicht irreduzible ist.
b) Ist f [mm] \in [/mm] K[x], grad f=2 oder 3. Dann ist f genau dann irreduzibel, falls [mm] f(a)\ne [/mm] 0 für alle a [mm] \in [/mm] K erfüllt ist.
c) Gib einen Körper K und ein Polynom f [mm] \in [/mm] K[x] mit grad f=4 an, das nicht irreduzibel ist, aber [mm] f(a)\ne [/mm] 0 für alle a [mm] \in [/mm] K erfüllt.
d) Benutze b) um zu zeigen, dass [mm] 8*x^3-6*x-1 \in [/mm] Q[x] irreduzibel ist. |
zu a) [mm] 1+x+x^3+x^4=(x+1)*(x^3+1)
[/mm]
Zu c) Da wir b) verwenden sollen, dürfte es genügen, die 0-Stellen zu berechnen (welche alle irrational sind).
Bei den restlichen Aufgaben hab ich leider keine Idee. Kann mir einer weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Di 10.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> a) Sei K ein beliebiger Körper. Zeige, dass [mm]1+x+x^3+x^4 \in[/mm]
> K[x] nicht irreduzible ist.
>
> b) Ist f [mm]\in[/mm] K[x], grad f=2 oder 3. Dann ist f genau dann
> irreduzibel, falls [mm]f(a)\ne[/mm] 0 für alle a [mm]\in[/mm] K erfüllt ist.
>
> c) Gib einen Körper K und ein Polynom f [mm]\in[/mm] K[x] mit grad
> f=4 an, das nicht irreduzibel ist, aber [mm]f(a)\ne[/mm] 0 für alle
> a [mm]\in[/mm] K erfüllt.
>
> d) Benutze b) um zu zeigen, dass [mm]8*x^3-6*x-1 \in[/mm] Q[x]
> irreduzibel ist.
> zu a) [mm]1+x+x^3+x^4=(x+1)*(x^3+1)[/mm]
Klar.
> Zu c) Da wir b) verwenden sollen, dürfte es genügen, die
> 0-Stellen zu berechnen (welche alle irrational sind).
Es ist wohl d) gemeint. Aber wie berechnest du die Nullstellen? Vielleicht kannst du ja nachweisen, daß sie irrational sind, ohne sie zu berechnen? Mittels Widerspruch.
Zu b): Wenn f reduzibel ist, wie sieht dann einer der Faktoren aus? Welche Folge hat das für die Nullstellen?
Zu c): Wenn es reduzibel sein soll, ist es ja Produkt von 2 Polynomen. Welchen Grad müssen die beide haben? Kennst du Polynome über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] mit diesem Grad und sicher ohne Nullstelle?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
zu c) was hälst du von [mm] (x^2+1)^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 10.06.2008 | | Autor: | statler |
> zu c) was hältst du von [mm](x^2+1)^2[/mm]
Über welchem Körper? Der gehört dazu!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Zu c) R als Körper bietet sich an.
Zu d) [mm] 8*x^3-6*x-1=0 [/mm]
Ich setze x=p/q, wie üblich bei rationalen Zahlen.
[mm] 8*\left( \bruch{p}{q} \right)^3-6*\left( \bruch{p}{q} \right)-1=0
[/mm]
Das hab ich nun nach q umgestellt und komme auf:
[mm] \left( \bruch{2*p}{\wurzel[3]{6*p+1}} \right)=q
[/mm]
Kann ich hier jetzt sagen, dass induktiv folgt, dass x irrational ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 10.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Zu c) R als Körper bietet sich an.
Ganz meine Meinung!
> Zu d) [mm]8*x^3-6*x-1=0[/mm]
> Ich setze x=p/q, wie üblich bei rationalen Zahlen.
>
> [mm]8*\left( \bruch{p}{q} \right)^3-6*\left( \bruch{p}{q} \right)-1=0[/mm]
>
> Das hab ich nun nach q umgestellt und komme auf:
>
> [mm]\left( \bruch{2*p}{\wurzel[3]{6*p+1}} \right)=q[/mm]
Da komme ich nun überhaupt nicht drauf!
Ciao
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] \bruch{8*p^3}{q^3}-\bruch{6*p}{q}-1=0
[/mm]
[mm] \bruch{8*p^3}{q^3}-\bruch{6*p*q^2}{q^3}-\bruch{q^3}{q^3}=0
[/mm]
[mm] 8*p^3-6*p*q^2-q^3=0
[/mm]
in der nächsten Zeile hab ich mich wirklich vermacht. Aber wie bekomme ich die p und q jetzt getrennt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mi 11.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vors: p,q ganz, ggt(p,q)=1 d.h. p/q vollständig gekürzt.
>
> [mm]8*p^3-6*p*q^2-q^3=0[/mm]
[mm] 8p^3=q^2*(6p+q)
[/mm]
d.h. die linke und die rechte Seite haben dieselben Faktoren.
das muss du zum widerspruch mit ggt(p,q)=1 und p, q ganz bringen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich hab bei wikipedia eine Lösungsformel für Nullstellen von Gleichungen der Form [mm] x^3+p*x+q [/mm] gefunden. Damit kann ich d) einfach ausrechnen. Das gefällt mir besser als so ein Beweis :)
Bleibt also noch b) zu zeigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 10.06.2008 | | Autor: | anstei |
Die zu zeigende Aussage ist ja logisch äquivalent zur Aussage:
[mm]f[/mm] reduzibel [mm] \iff \exists a \in K : f(a)=0[/mm]
Bei der Richtung [mm] ''\Rightarrow'' [/mm] kannst du ausnutzen, dass der Grad von $f$ 2 oder 3 ist. Und [mm] ''\Leftarrow'' [/mm] dürftest schon in diversen Beispielen angetroffen haben...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Für die Hinrichtung: Reduzible Polynome 2. Grades lassen sich als Produkt 2er linearer Polynome schreiben, welche immer eine 0-Stelle haben.
Reduzible Polynome 3. Grades lassen sich in ein quadratisches und ein lineares Polynom zerteilen, wobei der lineare Teil eine 0-Stelle hat.
Für die Rückrichtung: Die Beispiele liefern leider keinen Beweis ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Di 10.06.2008 | | Autor: | anstei |
> Für die Hinrichtung: Reduzible Polynome 2. Grades lassen
> sich als Produkt 2er linearer Polynome schreiben, welche
> immer eine 0-Stelle haben.
> Reduzible Polynome 3. Grades lassen sich in ein
> quadratisches und ein lineares Polynom zerteilen, wobei der
> lineare Teil eine 0-Stelle hat.
Vollkommen korrekt.
>
> Für die Rückrichtung: Die Beispiele liefern leider keinen
> Beweis ...
Hm, was sagt denn der Fundamentalsatz der Algebra, und wie könnte man einen gewissen Teil der Aussage hier verwenden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Wenn ich eine Gleichung mit P(x)=0 hab, kann ich sie zerlegen in P(x)=Q(x)*T(x) mit [mm] T(x)=(x-a)^{k-1}*(x-b)^{l-1}... [/mm] und Q(x)=(x-a)*(x-b)...
Wenn ich ein Polynom so zerlegen kann ist es nach Definition reduzibel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Di 10.06.2008 | | Autor: | anstei |
> Wenn ich eine Gleichung mit P(x)=0 hab, kann ich sie
> zerlegen in P(x)=Q(x)*T(x) mit
> [mm]T(x)=(x-a)^{k-1}*(x-b)^{l-1}...[/mm] und Q(x)=(x-a)*(x-b)...
>
> Wenn ich ein Polynom so zerlegen kann ist es nach
> Definition reduzibel.
Hm, ich weiss zwar nicht genau, was du mit den Exponenten meinst, aber ich vermute mal, du weisst, worauf ich hinaus wollte. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Die Exponenten stehen so im Bronstein.
Danke für deine Hilfe. Damit wären a,b und c gelöst.
Bei d) http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel
Ich habe mich an die Anweisungen für [mm] x^3+p*x+q=0 [/mm] mit p=-3/4 und q=-1/8 gehalten, komme aber nur auf nichts sagende Ausdrücke, wie: [mm] x_1=\wurzel[3]{\left( \bruch{1-i*\wurzel{3}}{16} \right)}+\wurzel[3]{\left( \bruch{1+i*\wurzel{3}}{16} \right)}
[/mm]
Kann ich das noch irgendwie vereinfachen oder hast du eine andere Idee? Mit x=p/q und dann Widerspruchsbeweis bin ich leider auch nicht weitergekommen. Ich würde mich über einen Tipp sehr freuen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:42 Di 10.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Hat jemand eine Idee für d)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 12.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für eure Muhe.Ich hab Leduards Tipp mit berücksichtigt und bin jetzt fertig. Also nochmals vielen Dank.
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