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Hallo ich habe eine Frage zum Restklassenring [mm] \IZ_p. [/mm] mit p-Primzahl
Ich frage mich, welche verschiedene "Multiplikation" man auf [mm] (\IZ_p,+) [/mm] , definieren kann, s.d. [mm] (\IZ_p,+,*) [/mm] ein Ring ist.
Dabei interessieren mich die letztlich entstehenden nicht-isomorphen Ringe
[mm] (\IZ_p,+,*).
[/mm]
ich habe mir folgendes überlegt:
Sei [mm] (\IZ_p,+) [/mm] gegeben mit [mm] \IZ:={ \overline{0},...,\overline{p-1}}
[/mm]
Dann muss natürlich gelten 0*a=0 für alle a [mm] \in (\IZ_p,+,*).
[/mm]
Außerdem gibt es p verschiedene Möglichkeiten 1*1 zu definieren, wodurch dann alle anderen Produkte festgelegt wären.
z.B. 2*1=(1+1)*1=1*1 +1+1
usw.
Somit hat man also p verschiedene Verknüpfungstabellen definiert.
Mir stellt sich nun aber die Frage, wie ich unter diesen p verschiedenen Ringen die zueinander isomorphen Ringe erkenne und somit feststellen kann wie viele nicht isomorphe Ringe [mm] (\IZ_p,+,*) [/mm] es gibt.
wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 29.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo ich habe eine Frage zum Restklassenring [mm]\IZ_p.[/mm] mit
> p-Primzahl
>
> Ich frage mich, welche verschiedene "Multiplikation" man
> auf [mm](\IZ_p,+)[/mm] , definieren kann, s.d. [mm](\IZ_p,+,*)[/mm] ein Ring
> ist.
>
> Dabei interessieren mich die letztlich entstehenden
> nicht-isomorphen Ringe
> [mm](\IZ_p,+,*).[/mm]
>
>
> ich habe mir folgendes überlegt:
> Sei [mm](\IZ_p,+)[/mm] gegeben mit [mm]\IZ:={ \overline{0},...,\overline{p-1}}[/mm]
>
> Dann muss natürlich gelten 0*a=0 für alle a [mm]\in (\IZ_p,+,*).[/mm]
Ja.
> Außerdem gibt es p verschiedene Möglichkeiten 1*1 zu
> definieren, wodurch dann alle anderen Produkte festgelegt
> wären.
Genau.
> z.B. 2*1=(1+1)*1=1*1 +1+1
> usw.
>
> Somit hat man also p verschiedene Verknüpfungstabellen
> definiert.
>
> Mir stellt sich nun aber die Frage, wie ich unter diesen p
> verschiedenen Ringen die zueinander isomorphen Ringe
> erkenne und somit feststellen kann wie viele nicht
> isomorphe Ringe [mm](\IZ_p,+,*)[/mm] es gibt.
Eine von den Multiplikationstabellen ist die Nullmultiplikation: $a * b = 0$ fuer alle $a, b$. (Dieser Ring hat kein Einselement.)
Bei allen anderen Multiplikationen sind die entstehenden Ringe isomorph: jeder dieser Ringe hat ein Einselement, und zu zwei solchen gibt es genau einen Isomorphismus, der das eine Einselement auf das andere abbildet.
LG Felix
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Alles klar,
vielen Dank für deine Antwort.
Das hat mir sehr weiter geholfen!
Grüße
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