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| Aufgabe | | Es sei A nilpotent mit Nilpotenzindex k. Zeigen Sie, A hat Index k. |
so unsere def von Index
Für A [mm] \in\IC^{n×n} [/mm] ist der Index als die kleinste Zahl k definiert, für die gilt
rang [mm] (A^k) [/mm] = rang [mm] (A^{k+1})
[/mm]
so wenn jetzt der nilpotentindex=k ist folgt das [mm] A^k=0 [/mm] ist und [mm] A^{k+1}=0
[/mm]
dann muss ja auch rang(0)=rang(0)
aber das ist bisschen zu einfach für 2punkte xD
ist das problem das ich beweisen muss das index nicht kleiner als k sein darf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 16.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei A nilpotent mit Nilpotenzindex k. Zeigen Sie, A hat
> Index k.
> so unsere def von Index
> Für A [mm]\in\IC^{n×n}[/mm] ist der Index als die kleinste Zahl k
> definiert, für die gilt
> rang [mm](A^k)[/mm] = rang [mm](A^{k+1})[/mm]
>
> so wenn jetzt der nilpotentindex=k ist folgt das [mm]A^k=0[/mm] ist
> und [mm]A^{k+1}=0[/mm]
> dann muss ja auch rang(0)=rang(0)
Ja.
> aber das ist bisschen zu einfach für 2punkte xD
Nun, die Rueckrichtung fehlt!
Benutze doch:
a) es gilt $rang(B) = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] B = 0$;
b) der Rang von [mm] $A^k$ [/mm] wird immer echt kleiner, bis er irgendwann konstant bleibt.
Wenn $A$ nilpotent ist, was bedeutet das mit b) zusammen?
Folgere: [mm] $A^k [/mm] = 0$ genau dann, wenn [mm] $rang(A^k) [/mm] = [mm] rang(A^{k+1})$. [/mm] Daraus folgt, dass Index und Nilpotenzindex gleich sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Kinghenni |
danke, sehr gut erklärt
gruß kinghenni
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