nilpotenter Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mo 16.01.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus.
Zeige: Ist f diagonalisierbar, dann ist f die Nullabbildung. |
Guten Abend,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Wenn f ein nilpotenter Endomorphismus ist, so gibt es ein k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] f^{k} [/mm] = 0. Dann muss also das Minimalpolynom von der Form p = [mm] t^{n} [/mm] sein mit n [mm] \le [/mm] k. Dann ist f doch eigentlich gar nicht diagonalisierbar? Das Minimalpolynom zerfällt doch gar nicht in paarweise verschiedene Linearfaktoren? Heißt das nun das die Darstellungsmatrix bezüglich f die Nullmatrix sein muss? Ist deshalb f die Nullabbildung?
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Hi,
dass das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt ist nur hinreichend für die Diagonalisierbarkeit aber nicht notwendig (das sieht man z.B an der Einheitsmatrix). Nimm einfach mal an die Matrix ist diagonalisierbar, also
[mm]F=T^{-1}DT,[/mm]
wobei F die Darstellungsmatrix von f ist und D eine Diagonalmatrix. Ist f nilpotent, dann gilt für ein k
[mm]0=F^k=(T^{-1}DT)^k=T^{-1}D^kT.[/mm]
Überleg dir was das für die Diagonalmatrix D bedeutet.
Beste Grüße
Spunk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 16.01.2012 | | Autor: | diab91 |
Hi,
> Hi,
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> dass das Minimalpolynom in paarweise verschiedene
> Linearfaktoren zerfällt ist nur hinreichend für die
> Diagonalisierbarkeit aber nicht notwendig (das sieht man
> z.B an der Einheitsmatrix).
Das stimmt. Ich werd's mir merken. Danke!
Nimm einfach mal an die Matrix
> ist diagonalisierbar, also
> [mm]F=T^{-1}DT,[/mm]
> wobei F die Darstellungsmatrix von f ist und D eine
> Diagonalmatrix. Ist f nilpotent, dann gilt für ein k
> [mm]0=F^k=(T^{-1}DT)^k=T^{-1}D^kT.[/mm]
> Überleg dir was das für die Diagonalmatrix D bedeutet.
>
> Beste Grüße
> Spunk
Ok, wenn 0 = [mm] T^{-1}D^{k}T [/mm] gilt, so gilt ja auch [mm] D^{k} [/mm] = 0 d.h die Matrix D wäre nilpotent. Das heißt dann aber auch das die Einträge auf der Diagonalen potenziert mit k alle Null werden. Dann gäbe es aber Nullteiler was in einem Körper nicht sein kann. Somit muss D die Nullmatrix sein.
Ist das korrekt?
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> Hi,
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> > Hi,
> >
> > dass das Minimalpolynom in paarweise verschiedene
> > Linearfaktoren zerfällt ist nur hinreichend für die
> > Diagonalisierbarkeit aber nicht notwendig (das sieht man
> > z.B an der Einheitsmatrix).
> Das stimmt. Ich werd's mir merken. Danke!
>
> Nimm einfach mal an die Matrix
> > ist diagonalisierbar, also
> > [mm]F=T^{-1}DT,[/mm]
> > wobei F die Darstellungsmatrix von f ist und D eine
> > Diagonalmatrix. Ist f nilpotent, dann gilt für ein k
> > [mm]0=F^k=(T^{-1}DT)^k=T^{-1}D^kT.[/mm]
> > Überleg dir was das für die Diagonalmatrix D
> bedeutet.
> >
> > Beste Grüße
> > Spunk
>
> Ok, wenn 0 = [mm]T^{-1}D^{k}T[/mm] gilt, so gilt ja auch [mm]D^{k}[/mm] = 0
> d.h die Matrix D wäre nilpotent. Das heißt dann aber auch
> das die Einträge auf der Diagonalen potenziert mit k alle
> Null werden. Dann gäbe es aber Nullteiler was in einem
> Körper nicht sein kann. Somit muss D die Nullmatrix sein.
> Ist das korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
Gruß Spunk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> dass das Minimalpolynom in paarweise verschiedene
> Linearfaktoren zerfällt ist nur hinreichend für die
> Diagonalisierbarkeit aber nicht notwendig (das sieht man
> z.B an der Einheitsmatrix).
das stimmt so nicht! Dass das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfaellt ist aequivalent zur Diagonalisierbarkeit.
Beim charakteristischen Polynom dagegen ist es nur hinreichend, aber nicht notwendig.
Das Minimalpolynom von der Einheitsmatrix ist uebrigens $X - 1$, das char. Polynom ist $(X - [mm] 1)^n$ [/mm] (falls es die $n [mm] \times [/mm] n$-Einheitsmatrix ist).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:21 Di 17.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f:V [mm]\to[/mm] V ein
> nilpotenter Endomorphismus.
>
> Zeige: Ist f diagonalisierbar, dann ist f die
> Nullabbildung.
> Guten Abend,
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Wenn f ein
> nilpotenter Endomorphismus ist, so gibt es ein k [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]f^{k}[/mm] = 0. Dann muss also das Minimalpolynom von der
> Form p = [mm]t^{n}[/mm] sein mit n [mm]\le[/mm] k. Dann
Nein. Das char. Polynom ist [mm] $t^n$, [/mm] das Minimalpolynom ist [mm] $t^\ell$ [/mm] mit $1 [mm] \le \ell \le [/mm] n$.
> ist f doch eigentlich
> gar nicht diagonalisierbar? Das Minimalpolynom zerfällt
> doch gar nicht in paarweise verschiedene Linearfaktoren?
Wenn [mm] $\ell [/mm] = 1$ ist, erfuellt es die Bedingung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Di 17.01.2012 | | Autor: | diab91 |
Hi felix,
erst Mal vielen Dank für die Korrektur.
> > ist f doch eigentlich
> > gar nicht diagonalisierbar? Das Minimalpolynom zerfällt
> > doch gar nicht in paarweise verschiedene Linearfaktoren?
>
> Wenn [mm]\ell = 1[/mm] ist, erfuellt es die Bedingung.
>
Ok. Das habe ich nicht gewusst. Ich dachte halt, weil da "paarweise" verschieden steht, muss es mindestens zwei Nullstellen geben.
Das heißt also das ich hier annehmen darf das, dass Minimalpolynom gleich t ist? Kann man mit dieser Erkenntnis bezüglich der Aufgabe irgendwas anfangen?
Noch ein Frage zu oben... Ich hab nun also gezeigt das die Diagonalmatrix die Nullmatrix sein muss. Damit wäre dann doch auch F also die Matrixdarstellung von f gleich der Nullmatrix. Somit ist f = 0. Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mi 18.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> erst Mal vielen Dank für die Korrektur.
> > > ist f doch eigentlich
> > > gar nicht diagonalisierbar? Das Minimalpolynom zerfällt
> > > doch gar nicht in paarweise verschiedene Linearfaktoren?
> >
> > Wenn [mm]\ell = 1[/mm] ist, erfuellt es die Bedingung.
> >
>
> Ok. Das habe ich nicht gewusst. Ich dachte halt, weil da
> "paarweise" verschieden steht, muss es mindestens zwei
> Nullstellen geben.
es kann auch nur eine sein 
> Das heißt also das ich hier annehmen darf das, dass
> Minimalpolynom gleich t ist?
Wenn du die Aussage "Matrix diagonalisierbar [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] Minimalpolynom zerfaellt in paarweise verschiedene Nullstellen" hast, dann ja. Du brauchst aber wirklich die Richtung [mm] $\Rightarrow$; [/mm] diese wird meist mit Hilfe der Jordanschen Normalform bewiesen. Falls du diese Richtung nicht hast, kannst du das nicht verwenden.
(Brauchst du allerdings auch gar nicht bei dieser Aufgabe...)
> Kann man mit dieser Erkenntnis
> bezüglich der Aufgabe irgendwas anfangen?
Wenn das Minimalpolynom von $A$ gleich $t$ ist, dann ist $A = 0$: das folgt direkt daraus, dass die Matrix eingesetzt in das Minimalpolynom gleich 0 ist.
> Noch ein Frage zu oben... Ich hab nun also gezeigt das die
> Diagonalmatrix die Nullmatrix sein muss. Damit wäre dann
> doch auch F also die Matrixdarstellung von f gleich der
> Nullmatrix. Somit ist f = 0. Ist das so korrekt?
Ja.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich meine, so gehts ganz einfach:
1. Es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] f^m=0. [/mm] Ist dann [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von f, so ist [mm] \lambda^m [/mm] ein Eigenwert von [mm] f^m. [/mm] Damit ist [mm] \lambda=0.
[/mm]
2. Da f diagonalisierbar ist, gibt es eine Basis [mm] \{b_1,...,b_n\} [/mm] von V aus Eigenvektoren von f.
Wegen 1. ist [mm] f(b_i)=0 [/mm] für i=1,...,n.
Damit ist f=0 auf V.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:14 Mi 18.01.2012 | | Autor: | diab91 |
@fred das ist wirklich eine sehr schöne und kurze Lösung. Danke. Wäre denn meine Argumentation auch richtig?
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