nilpotenter endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Sa 21.01.2006 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen, ich weis nicht so recht wo ich da ansetzen soll und versteh auch nicht was das eigentlich richtig ist ein nilpotenter Endomorphismus...
Sei V ein n-dimensionaler [mm] \IC [/mm] Vektorraum. Ein Endomorphismus g [mm] \in [/mm] End(V)
heisst nilpotent, wenn es ein k [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass [mm] g^{n}=0.
[/mm]
Zeige:
a) Ein nilpotenter Endomorphismus g hat 0 als einzigen Eigenwert.
b) Für einen nilpotenten Endomorphismus g auf V gilt [mm] g^{n}=0.
[/mm]
c) Hat ein Endomorrphismus f auf V das charakteristische Polynom [mm] f_{g}=(-x)^{n}, [/mm] so ist g nilpotent.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Sa 21.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> Vielleicht kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe
> helfen, ich weis nicht so recht wo ich da ansetzen soll und
> versteh auch nicht was das eigentlich richtig ist ein
> nilpotenter Endomorphismus...
Genau das, wie es unten definiert ist. Nach mehrmaligen anwenden geht es halt auf 0.
> Sei V ein n-dimensionaler [mm]\IC[/mm] Vektorraum. Ein
> Endomorphismus g [mm]\in[/mm] End(V)
> heisst nilpotent, wenn es ein k [mm]\in \IN[/mm] gibt, so dass
> [mm]g^{n}=0.[/mm]
Hier sollte es wohl [mm]g^{k}=0.[/mm] heißen.
> a) Ein nilpotenter Endomorphismus g hat 0 als einzigen
> Eigenwert.
Warum ist 0 ein Eigenwert? Was wäre wenn es einen anderen EW ungleich 0 gäben würde?
> b) Für einen nilpotenten Endomorphismus g auf V gilt
> [mm]g^{n}=0.[/mm]
Das imo einfachste ist folgendes: Zeige [m]Ker(f^l)\subset Ker(f^{l'}), l
> c) Hat ein Endomorrphismus f auf V das charakteristische
> Polynom [mm]f_{g}=(-x)^{n},[/mm] so ist g nilpotent.
Was hattet ihr da schon in der Vorlesung zu?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Bei b) kannst du noch einfacher mit der Jordanschen Normalform argumentieren (falls ihr die hattet), bei c) hilft Cayley-Hamilton.
Liebe Grüße
Julius
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