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| Aufgabe | Es gilt: Die Funktion f:= [mm] \sum_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, aber nirgends differenzierbar.
Beweis: Die Reihe konvergiert wegen [mm] \parallel f_n \parallel [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}4^{-n} [/mm] normal auf [mm] \IR [/mm] und stellt eine stetige Funktion dar. Wir zeigen, dass f in x [mm] \in \IR [/mm] nicht differenzierbar ist. Dazu wählen wir zu jedem n [mm] h_n [/mm] := [mm] +\bruch{1}{4}f^{-n} [/mm] oder [mm] h_n [/mm] := [mm] -\bruch{1}{4}f^{-n} [/mm] so, dass [mm] f_n [/mm] zwischen den Stellen x und [mm] x+h_n [/mm] linear ist. Dann ist auch [mm] f_k [/mm] mit [mm] k\le [/mm] n zwischen x und [mm] x+h_n [/mm] linear. für [mm] k\le [/mm] n ist also
[mm] \bruch{f_k(x+h_n)-f_k(x)}{h_n} [/mm] = [mm] \pm1
[/mm]
Für k>n ist [mm] h_n [/mm] eine Periode der [mm] f_k; [/mm] es gilt also
[mm] \bruch{f_k(x+h_n)-f_k(x)}{h_n} [/mm] = 0
Die Differenzenquotienten von f zu den [mm] h_n [/mm] sind daher
[mm] \bruch{f(x+h_n)-f(x)}{h_n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n\bruch{f_k(x+h_n)-f_k(x)}{h_n} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \pm1 [/mm] |
Hallo und frohe Ostern erstmal.
Ich habe eine Frage zu dem Beweis dort oben. Ich habe ihn genau so im Königsberger gefunden. (An der Korrektheit zweifel ich also nicht). Der erste Teil mit der Stetigkeit ist klar. Im zweiten Teil hängt es jedoch an 1-2 Stellen.
1. die Stelle, wo [mm] h_n [/mm] gewählt wird: Das wird doch so gewählt, damit man sicher auf einer der linearen Stücke bleibt und nicht über den nicht-diffbaren Punkt an der Spitze hinaus kommt, oder? D.h. wenn ich dicht bei 0 bin, wähle ich +1/4... und wenn ich dicht an der Spitze bin -1/4... richtig?
2. der erste Differenzenquotient ist klar, warum das [mm] \pm [/mm] 1 ist, es handelt sich ja um die Winkelhalbierende.... aber beim zweiten Differenzenquotienten versteh ich nicht, warum da 0 rauskommt. Was genau bedeutet hier "ist [mm] h_n [/mm] eine Periode der [mm] f_k"? [/mm] Periodizität ist für mich, dass sich etwas immer so wiederholt. Wenn es sich doch aber wiederholt, warum ist da dann der Diff-quotient = 0?
Ich hoffe, dass ihr mir in den beiden Punkten helfen könnt!
Schöne Feiertagsgrüße
Talianna
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Es gilt: Die Funktion f:= [mm]\sum_{n=1}^{\infty}f_n[/mm] ist auf
> ganz [mm]\IR[/mm] stetig, aber nirgends differenzierbar.
So etwas wird man nur beweisen können, wenn man weiß,
wie die Summanden [mm] f_n [/mm] definiert sind !
Du müsstest also unbedingt die Definition von [mm] f_n [/mm] mit
liefern.
LG Al-Chw.
> Beweis: Die Reihe konvergiert wegen [mm]\parallel f_n \parallel[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}4^{-n}[/mm] normal auf [mm]\IR[/mm] und stellt eine stetige
> Funktion dar. Wir zeigen, dass f in x [mm]\in \IR[/mm] nicht
> differenzierbar ist. Dazu wählen wir zu jedem n [mm]h_n[/mm] :=
> [mm]+\bruch{1}{4}f^{-n}[/mm] oder [mm]h_n[/mm] := [mm]-\bruch{1}{4}f^{-n}[/mm] so,
> dass [mm]f_n[/mm] zwischen den Stellen x und [mm]x+h_n[/mm] linear ist. Dann
> ist auch [mm]f_k[/mm] mit [mm]k\le[/mm] n zwischen x und [mm]x+h_n[/mm] linear. für
> [mm]k\le[/mm] n ist also
> [mm]\bruch{f_k(x+h_n)-f_k(x)}{h_n}[/mm] = [mm]\pm1[/mm]
> Für k>n ist [mm]h_n[/mm] eine Periode der [mm]f_k;[/mm] es gilt also
> [mm]\bruch{f_k(x+h_n)-f_k(x)}{h_n}[/mm] = 0
> Die Differenzenquotienten von f zu den [mm]h_n[/mm] sind daher
> [mm]\bruch{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^n\bruch{f_k(x+h_n)-f_k(x)}{h_n}[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n \pm1[/mm]
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> Hallo und frohe Ostern erstmal.
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> Ich habe eine Frage zu dem Beweis dort oben. Ich habe ihn
> genau so im Königsberger gefunden. (An der Korrektheit
> zweifel ich also nicht). Der erste Teil mit der Stetigkeit
> ist klar. Im zweiten Teil hängt es jedoch an 1-2 Stellen.
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> 1. die Stelle, wo [mm]h_n[/mm] gewählt wird: Das wird doch so
> gewählt, damit man sicher auf einer der linearen Stücke
> bleibt und nicht über den nicht-diffbaren Punkt an der
> Spitze hinaus kommt, oder? D.h. wenn ich dicht bei 0 bin,
> wähle ich +1/4... und wenn ich dicht an der Spitze bin
> -1/4... richtig?
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> 2. der erste Differenzenquotient ist klar, warum das [mm]\pm[/mm] 1
> ist, es handelt sich ja um die Winkelhalbierende.... aber
> beim zweiten Differenzenquotienten versteh ich nicht, warum
> da 0 rauskommt. Was genau bedeutet hier "ist [mm]h_n[/mm] eine
> Periode der [mm]f_k"?[/mm] Periodizität ist für mich, dass sich
> etwas immer so wiederholt. Wenn es sich doch aber
> wiederholt, warum ist da dann der Diff-quotient = 0?
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> Ich hoffe, dass ihr mir in den beiden Punkten helfen
> könnt!
> Schöne Feiertagsgrüße
> Talianna
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mo 25.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Talianna!
> 2. der erste Differenzenquotient ist klar, warum das [mm]\pm[/mm] 1
> ist, es handelt sich ja um die Winkelhalbierende.... aber
> beim zweiten Differenzenquotienten versteh ich nicht, warum
> da 0 rauskommt. Was genau bedeutet hier "ist [mm]h_n[/mm] eine
> Periode der [mm]f_k"?[/mm] Periodizität ist für mich, dass sich
> etwas immer so wiederholt.
Wenn [mm] $f_k$ [/mm] eine periodische Funktion ist, dann heisst das, dass es eine Zahl $p$ gibt mit $f(x+p)=f(x)$. p nennt man eine Periode von [mm] $f_k$.
[/mm]
> Wenn es sich doch aber
> wiederholt, warum ist da dann der Diff-quotient = 0?
Na, per Definition ist dann [mm] $f_k(x+h_n) =f_k(x)$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Talianna |
Das habe ich ganz vergessen.
Es handelt sich um die Takagi-Funktion. Die einzelnen [mm] f_n [/mm] sind also Sägefunktionen, die dann zu f aufsummiert werden. Die Periode von [mm] f_n [/mm] ist [mm] 4^{-n} [/mm] .
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> Das habe ich ganz vergessen.
> Es handelt sich um die Takagi-Funktion. Die einzelnen [mm]f_n[/mm]
> sind also Sägefunktionen, die dann zu f aufsummiert
> werden. Die Periode von [mm]f_n[/mm] ist [mm]4^{-n}[/mm] .
Damit ist [mm] f_n [/mm] immer noch nicht definiert. Wir wüssten
jetzt zwar, wo wir allenfalls im Internet nach einer
exakten Definition suchen könnten ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Talianna |
Genauer ist es im Königsberger auch nicht angegeben. Sägefunktion, Perdiode [mm] 4^{-n} [/mm] und die bilden quasi die Winkelhalbierende (höchster Punkt auf der y-Achse ist [mm] \bruch{1}{2} \* 4^{-n} [/mm] , das lässt sich aus der Zeichnung ablesen).
Aber ich glaube die Antwort von rainerS hat mir schon sehr weitergeholfen, danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Di 03.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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